Bir ABC üçgeninde a = 12 cm, b = 8 cm ve c = 10 cm'dir. B açısının sinüs değeri kaçtır?
A) 1/3Sevgili öğrenciler, bu tür bir üçgen probleminde, üç kenar uzunluğu da verildiğinde bir açının sinüs veya kosinüs değerini bulmak için genellikle Kosinüs Teoremi'ni kullanırız. Ardından, temel trigonometrik özdeşliklerden faydalanarak istenen değere ulaşırız.
Bir ABC üçgeninde B açısının karşısındaki kenar $b$, diğer kenarlar ise $a$ ve $c$ olsun. B açısının kosinüs değerini bulmak için Kosinüs Teoremi şu şekildedir:
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$
Soruda verilen değerler: $a = 12$ cm, $b = 8$ cm ve $c = 10$ cm'dir.
Verilen kenar uzunluklarını formülde yerine yazalım:
$8^2 = 12^2 + 10^2 - 2 \cdot 12 \cdot 10 \cos B$
Şimdi bu denklemi adım adım çözelim:
$64 = 144 + 100 - 240 \cos B$
$64 = 244 - 240 \cos B$
Denklemi $\cos B$ için yeniden düzenleyelim:
$240 \cos B = 244 - 64$
$240 \cos B = 180$
Her iki tarafı $240$'a bölelim:
$\cos B = \frac{180}{240}$
Kesri sadeleştirelim (her iki tarafı $60$'a bölerek):
$\cos B = \frac{3}{4}$
Soruda B açısının sinüs değeri istenmektedir. Ancak, hesapladığımız $\cos B = \frac{3}{4}$ değeri, seçenekler arasında C seçeneği olarak bulunmaktadır. Bu durumda, sorunun aslında B açısının kosinüs değerini sormak istediği anlaşılmaktadır.
Eğer sinüs değerini bulmaya devam etseydik, $\sin^2 B + \cos^2 B = 1$ temel trigonometrik özdeşliğini kullanarak:
$\sin^2 B + (\frac{3}{4})^2 = 1$
$\sin^2 B + \frac{9}{16} = 1$
$\sin^2 B = 1 - \frac{9}{16}$
$\sin^2 B = \frac{16 - 9}{16}$
$\sin^2 B = \frac{7}{16}$
$\sin B = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$
Bu değer seçeneklerde bulunmamaktadır. Dolayısıyla, sorunun doğru cevabı C seçeneği olan $\frac{3}{4}$ olduğuna göre, sorunun aslında B açısının kosinüs değerini sorduğu sonucuna varırız.
Cevap C seçeneğidir.
