KPSS Bölme ve Bölünebilme Kuralları Test 1

Bir x doğal sayısının 12'ye bölümünden kalan 5'tir. Buna göre x² + 3x + 2 ifadesinin 6'ya bölümünden kalan kaçtır?

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu tür kalan problemlerini çözerken, bölme ve kalan ilişkisini matematiksel olarak ifade etmeyi ve modüler aritmetik kurallarını kullanmayı öğreneceğiz. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Verilen Bilgiyi Matematiksel Olarak İfade Etme

  Soruda, bir $x$ doğal sayısının 12'ye bölümünden kalanın 5 olduğu belirtiliyor. Bu bilgiyi modüler aritmetik kullanarak şu şekilde yazabiliriz:

  $x \equiv 5 \pmod{12}$

  Bu ifade, $x$ sayısının 12 ile bölündüğünde 5 kalanını verdiğini gösterir. Yani, $x$ sayısı $12k + 5$ şeklinde bir sayıdır (burada $k$ bir tam sayıdır).

• Adım 2: İstenen Bölene Göre $x$'in Kalanını Bulma

  Bizden $x^2 + 3x + 2$ ifadesinin 6'ya bölümünden kalan isteniyor. Elimizdeki bilgi $x \pmod{12}$ şeklindeyken, biz $x \pmod{6}$ bilgisini bulmalıyız. Çünkü 12, 6'nın bir katıdır, bu geçişi kolayca yapabiliriz:

  $x \equiv 5 \pmod{12}$ demek, $x = 12k + 5$ demektir.

  Şimdi bu ifadeyi 6 modülüne göre inceleyelim:

  $x \equiv (12k + 5) \pmod{6}$

  $12k$ ifadesi 6'nın bir katı olduğu için, $12k \equiv 0 \pmod{6}$'dır.

  O halde, $x \equiv (0 + 5) \pmod{6}$

  $x \equiv 5 \pmod{6}$

  Yani, $x$ sayısının 6'ya bölümünden kalan 5'tir.

• Adım 3: İfadeyi Modüler Aritmetik Kullanarak Hesaplama

  Şimdi $x \equiv 5 \pmod{6}$ bilgisini kullanarak $x^2 + 3x + 2$ ifadesinin 6'ya bölümünden kalanı bulalım. Her $x$ yerine 5 yazıp, her adımı 6 modülüne göre hesaplayabiliriz:

  İfade: $x^2 + 3x + 2$

  $x \equiv 5 \pmod{6}$ olduğu için:

  • $x^2 \equiv 5^2 \pmod{6}$
  • $5^2 = 25$
  • $25 \pmod{6}$: $25 = 4 \times 6 + 1$, yani $25 \equiv 1 \pmod{6}$
  • $3x \equiv 3 \times 5 \pmod{6}$
  • $3 \times 5 = 15$
  • $15 \pmod{6}$: $15 = 2 \times 6 + 3$, yani $15 \equiv 3 \pmod{6}$
  • $2 \equiv 2 \pmod{6}$ (2'nin 6'ya bölümünden kalan 2'dir)

  Şimdi bu kalanları toplayalım:

  $(x^2 + 3x + 2) \equiv (1 + 3 + 2) \pmod{6}$

  $(1 + 3 + 2) = 6$

  Son olarak, $6 \pmod{6}$'yı bulalım:

  $6 \pmod{6}$: $6 = 1 \times 6 + 0$, yani $6 \equiv 0 \pmod{6}$

• Adım 4: Sonucu Belirtme

  Buna göre, $x^2 + 3x + 2$ ifadesinin 6'ya bölümünden kalan 0'dır.

Cevap A seçeneğidir.