Bu soruda bir 30-60-90 üçgeninin çevresi verilmiş ve bizden alanı bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: 30-60-90 Üçgeninin Kenar Özelliklerini Hatırlayalım
- Bir 30-60-90 üçgeninde, kenar uzunlukları belirli bir orana sahiptir. Eğer 30 derecenin karşısındaki kenar uzunluğuna $x$ dersek, 30 derecenin karşısındaki kenar $x$, 60 derecenin karşısındaki kenar $x\sqrt{3}$ ve 90 derecenin (hipotenüsün) karşısındaki kenar $2x$ olur.
- Adım 2: Çevre Uzunluğunu $x$ Cinsinden İfade Edelim
- Üçgenin çevresi, tüm kenar uzunluklarının toplamıdır. Çevre $= x + x\sqrt{3} + 2x = 3x + x\sqrt{3} = x(3+\sqrt{3})$.
- Adım 3: Verilen Çevre Uzunluğunu Kullanarak $x$ Değerini Bulalım
- Soruda çevrenin $15+5\sqrt{3}$ cm olduğu verilmiş. Bu ifadeyi $x(3+\sqrt{3})$ ile eşitleyelim: $x(3+\sqrt{3}) = 15+5\sqrt{3}$. Eşitliğin sağ tarafındaki ifadeyi $5$ parantezine alabiliriz: $15+5\sqrt{3} = 5(3+\sqrt{3})$. Şimdi eşitliği tekrar yazalım: $x(3+\sqrt{3}) = 5(3+\sqrt{3})$. Her iki tarafı $(3+\sqrt{3})$ ile böldüğümüzde $x$ değerini buluruz: $x = 5$ cm.
- Adım 4: Üçgenin Kenar Uzunluklarını Bulalım
- $x=5$ cm olduğuna göre, kenar uzunlukları şunlardır: 30 derecenin karşısındaki kenar (kısa dik kenar) $5$ cm, 60 derecenin karşısındaki kenar (uzun dik kenar) $5\sqrt{3}$ cm ve 90 derecenin karşısındaki kenar (hipotenüs) $2 \times 5 = 10$ cm.
- Adım 5: Üçgenin Alanını Hesaplayalım
- Bir dik üçgenin alanı, dik kenarlarının çarpımının yarısıdır. 30-60-90 üçgeni bir dik üçgen olduğu için, dik kenarları $x$ ve $x\sqrt{3}$'tür. Alan $= rac{1}{2} \times (\text{kısa dik kenar}) \times (\text{uzun dik kenar}) = rac{1}{2} \times 5 \times 5\sqrt{3} = rac{25\sqrt{3}}{2}$ cm².
Cevap B seçeneğidir.
