Çevresi 36 cm olan bir dikdörtgenin kenar uzunlukları santimetre cinsinden doğal sayıdır. Bu dikdörtgenin alanı en fazla kaç cm² olabilir?
A) 80Bu soruda, çevresi belirli olan bir dikdörtgenin alanının en fazla kaç olabileceğini bulacağız. Dikdörtgenin kenar uzunluklarının doğal sayı olması önemli bir ipucu. Haydi adım adım çözelim:
Bir dikdörtgenin çevresi, iki kısa kenarı ile iki uzun kenarının toplamıdır. Yani, kısa kenara $k$ ve uzun kenara $u$ dersek, çevre formülü $2 \times (k + u)$ şeklindedir.
Soruda çevrenin 36 cm olduğu verilmiş. O zaman:
$2 \times (k + u) = 36$ cm
Eşitliğin her iki tarafını 2'ye bölersek, kenar uzunluklarının toplamını buluruz:
$k + u = \frac{36}{2}$
$k + u = 18$ cm
Bu, kısa kenar ile uzun kenarın toplamının 18 cm olduğu anlamına gelir.
Kenar uzunlukları doğal sayı olmalı ve toplamları 18 olmalı. Olası $(k, u)$ kenar çiftlerini listeleyelim (kısa kenardan başlayarak):
$(1, 17)$, $(2, 16)$, $(3, 15)$, $(4, 14)$, $(5, 13)$, $(6, 12)$, $(7, 11)$, $(8, 10)$, $(9, 9)$
Unutmayın, bir dikdörtgenin kenarları eşit olursa bu bir kare olur ve kare de özel bir dikdörtgendir.
Bir dikdörtgenin alanı, kısa kenarı ile uzun kenarının çarpımıdır ($Alan = k \times u$). Şimdi yukarıdaki her bir çift için alanı hesaplayalım:
$1 \times 17 = 17$ cm²
$2 \times 16 = 32$ cm²
$3 \times 15 = 45$ cm²
$4 \times 14 = 56$ cm²
$5 \times 13 = 65$ cm²
$6 \times 12 = 72$ cm²
$7 \times 11 = 77$ cm²
$8 \times 10 = 80$ cm²
$9 \times 9 = 81$ cm²
Gördüğümüz gibi, hesapladığımız alanlar içinde en büyük değer 81 cm²'dir. Bu alan, kenar uzunlukları 9 cm ve 9 cm olduğunda elde edilir, yani dikdörtgen bir kare olduğunda.
Genel bir kural olarak, çevresi sabit olan bir dikdörtgenin alanı, kenar uzunlukları birbirine en yakın olduğunda (yani bir kareye yaklaştığında) en büyük değerini alır.
Cevap B seçeneğidir.
