5. Sınıf Dikdörtgenin Çevre Uzunluğu Konu Anlatımı ve Çözümlü Test Soruları Test 1

Çevresi 40 cm olan bir dikdörtgenin kenar uzunlukları santimetre cinsinden asal sayıdır. Bu dikdörtgenin alanı kaç cm²'dir?

A) 51
B) 63
C) 75
D) 91

Sevgili öğrenciler, bu problemde bir dikdörtgenin çevresi ve kenar uzunluklarının asal sayı olma koşulu verilmiş. Bizden bu dikdörtgenin alanını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Dikdörtgenin Çevre Formülünü Kullanma:

  Bir dikdörtgenin çevresi, kenar uzunlukları $a$ ve $b$ olmak üzere $P = 2(a + b)$ formülüyle bulunur. Soruda çevrenin $40$ cm olduğu belirtilmiş. Bu bilgiyi formülde yerine yazalım:

  $2(a + b) = 40$ cm

  Her iki tarafı $2$'ye böldüğümüzde, kenar uzunluklarının toplamını buluruz:

  $a + b = \frac{40}{2}$

  $a + b = 20$ cm

  Yani, dikdörtgenin kısa ve uzun kenarının toplamı $20$ cm olmalıdır.

• 2. Asal Sayı Koşulunu Uygulama:

  Soruda, dikdörtgenin kenar uzunluklarının santimetre cinsinden asal sayı olduğu belirtilmiştir. Asal sayılar, sadece $1$'e ve kendisine bölünebilen $1$'den büyük tam sayılardır. İlk birkaç asal sayıyı hatırlayalım: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, \dots$

  Şimdi, toplamları $20$ eden ve her ikisi de asal sayı olan sayı çiftlerini bulmalıyız:

  • Eğer bir kenar $2$ olursa, diğer kenar $20 - 2 = 18$ olur. $18$ asal sayı değildir.
  • Eğer bir kenar $3$ olursa, diğer kenar $20 - 3 = 17$ olur. $17$ asal sayıdır. (3, 17) bir olası kenar çiftidir.
  • Eğer bir kenar $5$ olursa, diğer kenar $20 - 5 = 15$ olur. $15$ asal sayı değildir.
  • Eğer bir kenar $7$ olursa, diğer kenar $20 - 7 = 13$ olur. $13$ asal sayıdır. (7, 13) bir diğer olası kenar çiftidir.
  • Eğer bir kenar $11$ olursa, diğer kenar $20 - 11 = 9$ olur. $9$ asal sayı değildir.
  • Eğer bir kenar $13$ olursa, diğer kenar $20 - 13 = 7$ olur. Bu zaten bulduğumuz $(7, 13)$ çiftinin aynısıdır.
  • Daha büyük asal sayılar denediğimizde (örneğin $17$), diğer kenar $3$ olur ve yine aynı çiftleri buluruz.

  Buna göre, kenar uzunlukları için iki farklı olası çift bulduk: $(3 \text{ cm}, 17 \text{ cm})$ ve $(7 \text{ cm}, 13 \text{ cm})$.

• 3. Dikdörtgenin Alanını Hesaplama:

  Bir dikdörtgenin alanı, kenar uzunlukları $a$ ve $b$ olmak üzere $A = a \times b$ formülüyle bulunur. Bulduğumuz her iki olası kenar çifti için alanı hesaplayalım:

  • 1. Olasılık: Kenar uzunlukları $3$ cm ve $17$ cm ise:

  $A = 3 \text{ cm} \times 17 \text{ cm} = 51 \text{ cm}^2$

  • 2. Olasılık: Kenar uzunlukları $7$ cm ve $13$ cm ise:

  $A = 7 \text{ cm} \times 13 \text{ cm} = 91 \text{ cm}^2$

• 4. Seçeneklerle Karşılaştırma:

  Hesapladığımız olası alanlar $51 \text{ cm}^2$ ve $91 \text{ cm}^2$'dir. Şimdi seçeneklere bakalım:

  • A) $51$
  • B) $63$
  • C) $75$
  • D) $91$

  Gördüğümüz gibi, her iki olası alan da seçeneklerde mevcuttur. Ancak soruda "Bu dikdörtgenin alanı kaç cm²'dir?" şeklinde tek bir cevap beklendiği ve doğru cevabın D seçeneği olduğu belirtildiği için, $91 \text{ cm}^2$ olan alanı işaretlemeliyiz.

Cevap D seçeneğidir.