Bir öğrenci |x-4| ≤ 2 eşitsizliğini çözmüş ve çözüm kümesini [2,6] olarak bulmuştur. Bu öğrencinin çözümünde hata var mıdır?
A) Evet, çözüm kümesi (2,6) olmalıdır
B) Evet, çözüm kümesi [3,5] olmalıdır
C) Evet, çözüm kümesi [-2,2] olmalıdır
D) Hayır, çözüm doğrudur
E) Evet, çözüm kümesi [1,7] olmalıdır
Sevgili öğrenciler, mutlak değer içeren eşitsizlikleri çözerken belirli kuralları uygulamak çok önemlidir. Şimdi, öğrencinin çözümünü adım adım inceleyelim ve doğru çözümü bulalım.
- Mutlak Değer Eşitsizliğinin Kuralı: Bir $a > 0$ sayısı için, $|u| \le a$ şeklindeki bir mutlak değer eşitsizliği, $-a \le u \le a$ şeklinde çözülür. Bu kural, mutlak değerin tanımından gelir; yani $u$'nun 0'a olan uzaklığı $a$'dan küçük veya eşit olmalıdır.
- Eşitsizliği Uygulama: Bize verilen eşitsizlik $|x-4| \le 2$'dir. Bu durumda, $u = x-4$ ve $a = 2$'dir. Mutlak değer eşitsizliği kuralını uyguladığımızda, eşitsizliği şu şekilde yazabiliriz:
$$-2 \le x-4 \le 2$$
- Eşitsizliği Çözme: Şimdi bu bileşik eşitsizliği çözmek için $x$'i yalnız bırakmalıyız. Eşitsizliğin her üç tarafına da 4 ekleyelim:
$$-2 + 4 \le x-4 + 4 \le 2 + 4$$
Bu işlemi yaptığımızda eşitsizlik şu hale gelir:
$$2 \le x \le 6$$
- Çözüm Kümesini Belirleme: Elde ettiğimiz $2 \le x \le 6$ ifadesi, $x$'in 2'ye eşit veya büyük, aynı zamanda 6'ya eşit veya küçük olduğu anlamına gelir. Bu aralık, kapalı aralık gösterimiyle $[2, 6]$ şeklinde ifade edilir.
- Öğrencinin Çözümüyle Karşılaştırma: Öğrenci, çözüm kümesini $[2,6]$ olarak bulmuştur. Bizim adım adım çözümümüz de aynı sonucu vermiştir. Bu durumda, öğrencinin çözümü doğrudur.
Cevap D seçeneğidir.
