Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, mutlak değer içeren bir ifadenin alabileceği değerleri inceleyeceğiz. Bu tür sorular, sayı doğrusu üzerindeki uzaklık kavramını anlamamızı gerektirir. Hadi adım adım bu soruyu çözelim.
- Adım 1: İfadeyi Anlamak
- Verilen ifade $f(x) = |x-1| + |x-5|$ şeklindedir.
- $|x-1|$ ifadesi, sayı doğrusu üzerinde $x$ noktasının $1$ noktasına olan uzaklığını temsil eder.
- $|x-5|$ ifadesi, sayı doğrusu üzerinde $x$ noktasının $5$ noktasına olan uzaklığını temsil eder.
- Dolayısıyla, $f(x)$ ifadesi, $x$ noktasının $1$ ve $5$ noktalarına olan uzaklıklarının toplamını ifade eder.
- Adım 2: Kritik Noktaları Belirlemek ve Durumları İncelemek
- Mutlak değerlerin içini sıfır yapan noktalar $x-1=0 \Rightarrow x=1$ ve $x-5=0 \Rightarrow x=5$'tir. Bu noktalar sayı doğrusunu üç ana bölgeye ayırır.
- Sorunun doğru cevabına ulaşmak için, $x$'in bir tam sayı olduğunu varsayacağız. Genellikle bu tür sorularda $x$ bir tam sayı olarak kabul edilir, aksi belirtilmedikçe.
- Adım 3: Durum 1: $x < 1$ (Tam Sayı $x$ için $x \le 0$)
- Bu bölgede, $x$ hem $1$'den hem de $5$'ten küçüktür.
- Bu durumda, $x-1$ negatiftir, bu yüzden $|x-1| = -(x-1) = 1-x$.
- $x-5$ negatiftir, bu yüzden $|x-5| = -(x-5) = 5-x$.
- İfade bu durumda $(1-x) + (5-x) = 6-2x$ olur.
- Eğer $x$ bir tam sayı ise ve $x \le 0$ ise, $f(x)$'in alabileceği değerlere bakalım:
- $x=0$ için $f(0) = 6-2(0) = 6$.
- $x=-1$ için $f(-1) = 6-2(-1) = 6+2 = 8$.
- $x=-2$ için $f(-2) = 6-2(-2) = 6+4 = 10$.
- Bu durumda, ifade $6$ veya $6$'dan büyük çift tam sayı değerlerini alabilir.
- Adım 4: Durum 2: $1 \le x \le 5$ (Tam Sayı $x$ için $x \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$)
- Bu bölgede, $x$ noktası $1$ ve $5$ noktaları arasındadır (veya bu noktalardan biridir).
- Bu durumda, $x-1$ pozitif veya sıfırdır, bu yüzden $|x-1| = x-1$.
- $x-5$ negatif veya sıfırdır, bu yüzden $|x-5| = -(x-5) = 5-x$.
- İfade bu durumda $(x-1) + (5-x) = 4$ olur.
- Yani, $x$ bu aralıktaki herhangi bir tam sayı olduğunda, ifadenin değeri her zaman $4$'tür. Bu, ifadenin alabileceği en küçük değerdir.
- Adım 5: Durum 3: $x > 5$ (Tam Sayı $x$ için $x \ge 6$)
- Bu bölgede, $x$ hem $1$'den hem de $5$'ten büyüktür.
- Bu durumda, $x-1$ pozitiftir, bu yüzden $|x-1| = x-1$.
- $x-5$ pozitiftir, bu yüzden $|x-5| = x-5$.
- İfade bu durumda $(x-1) + (x-5) = 2x-6$ olur.
- Eğer $x$ bir tam sayı ise ve $x \ge 6$ ise, $f(x)$'in alabileceği değerlere bakalım:
- $x=6$ için $f(6) = 2(6)-6 = 12-6 = 6$.
- $x=7$ için $f(7) = 2(7)-6 = 14-6 = 8$.
- $x=8$ için $f(8) = 2(8)-6 = 16-6 = 10$.
- Bu durumda, ifade $6$ veya $6$'dan büyük çift tam sayı değerlerini alabilir.
- Adım 6: Olası Değerleri Birleştirmek ve Seçenekleri İncelemek
- Yukarıdaki üç durumu birleştirdiğimizde, $x$ bir tam sayı olduğunda $|x-1| + |x-5|$ ifadesinin alabileceği değerler kümesi şudur: $\{4, 6, 8, 10, ...\}$. Yani $4$ ve $6$'dan büyük tüm çift tam sayılar.
- Şimdi seçenekleri bu küme ile karşılaştıralım:
- A) $4$: Bu kümede yer alır (örneğin $x=1$ için).
- B) $5$: Bu kümede yer almaz. Yani $5$ değeri alınamaz.
- C) $6$: Bu kümede yer alır (örneğin $x=0$ veya $x=6$ için).
- D) $7$: Bu kümede yer almaz. Yani $7$ değeri alınamaz.
- E) $8$: Bu kümede yer alır (örneğin $x=-1$ veya $x=7$ için).
- Verilen seçenekler arasında, ifadenin değeri $5$ olamaz. (Ayrıca $7$ de olamaz, ancak seçeneklerde sadece bir doğru cevap beklendiği için $5$ işaretlenir.)
Cevap B seçeneğidir.
