Bir trigonometrik fonksiyonun periyodu π olduğunda, 13π/4 radyanlık açının esas ölçüsü kaç radyandır?
A) π/4Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir açının esas ölçüsünü bulacağız. Ancak dikkat etmemiz gereken özel bir durum var: "Bir trigonometrik fonksiyonun periyodu $\pi$ olduğunda" ifadesi, esas ölçüyü bulacağımız aralığı etkiliyor. Hadi adım adım inceleyelim.
Genel olarak, bir açının esas ölçüsü, o açının $0$ ile $2\pi$ radyan (veya $0$ ile $360^\circ$) aralığındaki eşdeğeridir. Yani, $\theta$ açısının esas ölçüsü $\alpha$ ise, $\theta = \alpha + 2k\pi$ şeklinde yazılır ve $0 \le \alpha < 2\pi$ koşulu sağlanır.
Soruda "Bir trigonometrik fonksiyonun periyodu $\pi$ olduğunda" ifadesi geçiyor. Bu ifade, esas ölçüyü bulacağımız aralığı değiştirir. Eğer bir fonksiyonun periyodu $\pi$ ise, o fonksiyon $\pi$ radyanlık aralıklarla kendini tekrar eder. Bu durumda, esas ölçüyü $0 \le \alpha < \pi$ aralığında ararız. Yani, verilen açıyı $\pi$'nin katlarına bölerek kalanı bulmalıyız.
Verilen açı $13\pi/4$ radyandır. Biz bu açıyı $\alpha + k\pi$ şeklinde yazmalıyız, öyle ki $0 \le \alpha < \pi$ olsun. Bunun için $13/4$ kesrini tam sayılı kesre çevirelim:
$13 \div 4 = 3$ tam ve $1$ kalan.
Yani, $13/4 = 3 + 1/4$.
Bu durumda, $13\pi/4$ açısını şu şekilde yazabiliriz:
$\frac{13\pi}{4} = 3\pi + \frac{\pi}{4}$
Bulduğumuz $3\pi + \pi/4$ ifadesinde, $3\pi$ kısmı $\pi$'nin tam katıdır ve periyodik tekrarı temsil eder. Geriye kalan $\pi/4$ kısmı ise bizim esas ölçümüzdür.
Kontrol edelim: Bulduğumuz $\pi/4$ değeri, $0 \le \alpha < \pi$ koşulunu sağlıyor mu? Evet, $0 \le \pi/4 < \pi$ olduğu için bu koşul sağlanır.
Bu nedenle, $13\pi/4$ radyanlık açının, periyodu $\pi$ olan bir trigonometrik fonksiyon için esas ölçüsü $\pi/4$ radyandır.
Cevap A seçeneğidir.
