Kesirli Sayıların Üssü Alınırken Nelere Dikkat Edilir? Test 1

Bir kesrin negatif üssü alındığında aşağıdakilerden hangisi yapılmalıdır?

A) Kesir aynı kalır
B) Kesir 0 olur
C) Kesir ters çevrilir ve üs pozitif yapılır
D) Pay ve payda yer değiştirir

Sevgili öğrenciler, üslü sayılar konusu matematikte çok önemli bir yer tutar. Özellikle negatif üsler, bazen kafa karıştırıcı gibi görünse de aslında çok basit ve mantıklı bir kurala dayanır. Şimdi, bir kesrin negatif üssü alındığında ne yapmamız gerektiğini adım adım inceleyelim.

• Negatif Üs Kuralını Hatırlayalım: Genel olarak, bir sayının negatif üssü, o sayının çarpmaya göre tersinin pozitif üssüne eşittir. Yani, herhangi bir $a$ sayısı için ($a \neq 0$) ve herhangi bir $n$ tam sayısı için, $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ kuralı geçerlidir. Bu kural bize, negatif üssün sayıyı ters çevirip üssü pozitif yaptığını söyler.
• Bu Kuralı Kesirlere Uygulayalım: Şimdi bu kuralı bir kesre, örneğin $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}$ ifadesine uygulayalım. Burada $a$ ve $b$ sıfırdan farklı sayılar olmalıdır.
• Adım 1: Kesri Bir Bütün Olarak Düşünelim: $\left(\frac{a}{b}\right)$ ifadesini tek bir sayı gibi düşünelim ve yukarıdaki negatif üs kuralını uygulayalım. Buna göre:

  $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \frac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^n}$

  Bu adımda, kesrin tamamını ters çevirmiş ve üssü pozitif yapmış olduk.
• Adım 2: Kesirle Bölme İşlemini Hatırlayalım: Bir sayıyı bir kesre bölmek, o sayıyı kesrin çarpmaya göre tersiyle çarpmak demektir. Yani, $\frac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^n}$ ifadesi, $1$ sayısını $\left(\frac{a}{b}\right)^n$ kesrine bölmek anlamına gelir. Bu da şu şekilde yazılabilir:

  $1 \times \left(\frac{b}{a}\right)^n$

  Çünkü $\left(\frac{a}{b}\right)^n$ kesrinin çarpmaya göre tersi $\left(\frac{b}{a}\right)^n$'dir.
• Sonuç: Gördüğümüz gibi, $1 \times \left(\frac{b}{a}\right)^n = \left(\frac{b}{a}\right)^n$ olur. Bu da bize şunu gösterir: Bir kesrin negatif üssü alındığında, kesrin payı ile paydası yer değiştirir (yani kesir ters çevrilir) ve üs pozitif hale gelir.

Şimdi seçeneklere bakalım:

• A) Kesir aynı kalır - Yanlış. Negatif üs, kesri değiştirir.
• B) Kesir 0 olur - Yanlış. Negatif üs, bir sayıyı sıfır yapmaz.
• C) Kesir ters çevrilir ve üs pozitif yapılır - Doğru. Yukarıdaki adımlarda tam olarak bunu bulduk.
• D) Pay ve payda yer değiştirir - Bu doğru bir ifadedir ancak eksiktir. Sadece pay ve paydanın yer değiştirmesi yetmez, aynı zamanda üssün de pozitif yapılması gerekir. C seçeneği bu işlemi tam olarak açıklar.

Bu nedenle, bir kesrin negatif üssü alındığında yapılması gereken işlem, kesri ters çevirmek ve üssü pozitif yapmaktır.

Cevap C seçeneğidir.