$\left(\frac{5}{4}\right)^2 \times \left(\frac{4}{5}\right)^3$ işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1Sevgili öğrenciler, bu soruda üslü sayılarla çarpma işlemini ve kesirlerin üslerini nasıl alacağımızı öğreneceğiz. Özellikle, tabanları birbirinin tersi olan üslü ifadelerle nasıl başa çıkacağımızı göreceğiz. Adım adım ilerleyelim:
Bize verilen işlem şu şekildedir: $\left(\frac{5}{4}\right)^2 \times \left(\frac{4}{5}\right)^3$.
Burada iki farklı kesrin üslerini alıp çarpmamız isteniyor. Dikkat ederseniz, ikinci kesir ($ \frac{4}{5} $) ilk kesrin ($ \frac{5}{4} $) çarpmaya göre tersidir (yani pay ve paydası yer değiştirmiştir).
Üslü sayılarda çarpma işlemi yaparken tabanların aynı olması işimizi çok kolaylaştırır. Bir kesrin çarpmaya göre tersini üslü ifade olarak yazabiliriz. Genel kural şudur: $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \left(\frac{b}{a}\right)^{-n}$. Yani, bir kesrin pay ve paydasını yer değiştirdiğimizde üssün işaretini değiştirmemiz gerekir.
Bu kuralı kullanarak ikinci terimi, yani $\left(\frac{4}{5}\right)^3$ ifadesini, tabanı $\frac{5}{4}$ olacak şekilde yazabiliriz:
$\left(\frac{4}{5}\right)^3 = \left(\frac{5}{4}\right)^{-3}$
Şimdi orijinal işlemimizi yeni haliyle yazalım. Artık her iki ifadenin de tabanı aynıdır:
$\left(\frac{5}{4}\right)^2 \times \left(\frac{5}{4}\right)^{-3}$
Tabanları aynı olan üslü sayıları çarparken üsler toplanır. Genel kural: $a^m \times a^n = a^{m+n}$.
Bu kuralı bizim işlemimize uygulayalım:
$\left(\frac{5}{4}\right)^{2 + (-3)}$
Üsleri toplayalım: $2 + (-3) = 2 - 3 = -1$.
Yani işlemimiz şu hale gelir: $\left(\frac{5}{4}\right)^{-1}$
Bir sayının negatif üssü, o sayının çarpmaya göre tersini ifade eder. Genel kural: $a^{-1} = \frac{1}{a}$.
Bu kuralı $\left(\frac{5}{4}\right)^{-1}$ ifadesine uygulayalım:
$\left(\frac{5}{4}\right)^{-1} = \frac{1}{\frac{5}{4}}$
Bir kesri 1'e böldüğümüzde, o kesrin çarpmaya göre tersini alırız (pay ve payda yer değiştirir):
$\frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}$
İşlemin sonucu $\frac{4}{5}$ olarak bulunmuştur.
Cevap B seçeneğidir.
