6 farklı çiçek türünden, en az 3 tür kullanılarak buketler yapılacaktır. Bir bukette her çiçek türünden en fazla 1 tane bulunacağına göre, kaç farklı buket yapılabilir?
A) 41Merhaba sevgili öğrenciler! Bu problemde, belirli sayıda çiçek türü arasından, belirli koşullara göre buketler oluşturma yollarını bulacağız. Bu tür sorular, kombinasyon konusunu anlamak için harika bir fırsattır. Adım adım ilerleyerek çözüme ulaşalım:
Elimizde 6 farklı çiçek türü var. Buketlerde en az 3 tür çiçek kullanılacak ve her çiçek türünden en fazla 1 tane bulunacak. Bu, aslında 6 tür arasından belirli sayıda tür seçimi yapacağımız anlamına geliyor. Örneğin, bir buket için A, B, C türlerini seçtiğimizde, bu bukette A, B ve C çiçeklerinden birer tane bulunacaktır.
Çiçeklerin buket içindeki sıralaması önemli değildir (yani A, B, C ile C, B, A aynı buketi ifade eder). Bu durumda, bir seçim yaparken sıralamanın önemli olmadığı durumlar için kombinasyon kullanırız. Kombinasyon formülü $C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ şeklindedir. Burada $n$ toplam eleman sayısı (çiçek türü sayısı), $k$ ise seçilecek eleman sayısıdır (buketteki çiçek türü sayısı).
Buketlerde en az 3 tür çiçek kullanılacağı belirtildiği için, 6 farklı çiçek türü arasından 3 tür, 4 tür, 5 tür veya 6 tür seçerek buketler oluşturabiliriz. Her bir durumu ayrı ayrı hesaplayıp sonra toplayacağız.
6 çiçek türü arasından 3 tanesini seçme yollarının sayısı $C(6, 3)$ ile bulunur:
$C(6, 3) = \binom{6}{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ farklı buket.
6 çiçek türü arasından 4 tanesini seçme yollarının sayısı $C(6, 4)$ ile bulunur:
$C(6, 4) = \binom{6}{4} = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ farklı buket.
6 çiçek türü arasından 5 tanesini seçme yollarının sayısı $C(6, 5)$ ile bulunur:
$C(6, 5) = \binom{6}{5} = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6!}{5!1!} = \frac{6}{1} = 6$ farklı buket.
6 çiçek türü arasından 6 tanesini seçme yollarının sayısı $C(6, 6)$ ile bulunur:
$C(6, 6) = \binom{6}{6} = \frac{6!}{6!(6-6)!} = \frac{6!}{6!0!} = 1$ farklı buket (unutmayın, $0! = 1$).
En az 3 tür kullanma koşulunu sağlayan tüm durumları toplarsak, toplam farklı buket sayısını buluruz:
Toplam buket sayısı $= (\text{3 tür seçimi}) + (\text{4 tür seçimi}) + (\text{5 tür seçimi}) + (\text{6 tür seçimi})$
Toplam buket sayısı $= 20 + 15 + 6 + 1 = 42$.
Bu adımları takip ederek, 6 farklı çiçek türünden en az 3 tür kullanarak 42 farklı buket yapılabileceğini bulduk.
Cevap B seçeneğidir.
