Katılarda genleşme (Boyca, Yüzeyce, Hacimce) Test 1

Bir mühendis, genleşme katsayısı 1,2×10⁻⁵ 1/°C olan metalden yapılmış 50 metre uzunluğundaki bir köprü inşa etmektedir. Köprünün sıcaklığı yazın 40°C, kışın ise -10°C olmaktadır. Köprüyü hangi sıcaklıkta inşa ederse, yaz ve kış boyu genleşme ve büzülmeden kaynaklı toplam uzunluk değişimi minimum olur?

A) 15°C
B) 20°C
C) 25°C
D) 30°C

Bu soruda, bir köprünün sıcaklık değişimleri nedeniyle yaşayacağı genleşme ve büzülme miktarını en aza indirmek için hangi sıcaklıkta inşa edilmesi gerektiğini bulacağız. Bu tür mühendislik problemleri, köprülerin ömrü ve güvenliği için çok önemlidir.

• Verilen Bilgiler:
• Köprünün genleşme katsayısı ($\alpha$): $1.2 \times 10^{-5} \text{ 1/°C}$
• Köprünün başlangıç uzunluğu ($L_0$): $50 \text{ metre}$
• Yazın ulaşılan en yüksek sıcaklık ($T_{yaz}$): $40 \text{ °C}$
• Kışın ulaşılan en düşük sıcaklık ($T_{kış}$): $-10 \text{ °C}$
• Amacımız: Köprüyü inşa edeceğimiz sıcaklığı ($T_{inşa}$) öyle bir seçmeliyiz ki, yazın genleşme ve kışın büzülme nedeniyle köprünün başlangıç uzunluğundan sapması (uzunluk değişimi) minimum olsun. Başka bir deyişle, köprünün inşa edildiği sıcaklığa göre hem yazın hem de kışın yaşayacağı maksimum uzunluk değişimi (genleşme veya büzülme) en küçük değeri alsın. Bu, köprüdeki genleşme derzlerinin (boşluklarının) en verimli şekilde tasarlanmasını sağlar.
• Uzunluk Değişimi Formülü:

  Bir malzemenin sıcaklık değişimi nedeniyle uğradığı uzunluk değişimi $\Delta L$ şu formülle bulunur:

  $\Delta L = L_0 \cdot \alpha \cdot \Delta T$

  Burada $\Delta L$ uzunluk değişimi, $L_0$ başlangıç uzunluğu, $\alpha$ genleşme katsayısı ve $\Delta T$ sıcaklık değişimi ($T_{son} - T_{ilk}$) anlamına gelir.

• Yaz ve Kış Uzunluk Değişimlerini İfade Edelim:

  Köprüyü $T_{inşa}$ sıcaklığında inşa ettiğimizi varsayalım.

  Yazın uzunluk değişimi ($\Delta L_{yaz}$): Köprü, $T_{inşa}$'dan $T_{yaz}$'a kadar genleşecektir.

  $\Delta L_{yaz} = L_0 \cdot \alpha \cdot (T_{yaz} - T_{inşa})$

  Kışın uzunluk değişimi ($\Delta L_{kış}$): Köprü, $T_{inşa}$'dan $T_{kış}$'a kadar büzülecektir. (Bu durumda $\Delta T$ negatif çıkacaktır, bu da büzülmeyi ifade eder.)

  $\Delta L_{kış} = L_0 \cdot \alpha \cdot (T_{kış} - T_{inşa})$

• Toplam Uzunluk Değişimini Minimum Yapma Koşulu:

  Soruda "genleşme ve büzülmeden kaynaklı toplam uzunluk değişimi minimum olur" ifadesi, köprünün inşa edildiği sıcaklığa göre hem yazın hem de kışın yaşayacağı mutlak uzunluk değişimlerinin birbirine eşit olmasını ve bu değerin minimum olmasını gerektirir. Yani, köprü inşa sıcaklığından yaz sıcaklığına doğru ne kadar genleşiyorsa, kış sıcaklığına doğru da o kadar büzülmelidir. Bu durum, genleşme derzlerinin her iki yönde de eşit miktarda hareket alanı sağlaması anlamına gelir.

  Matematiksel olarak bu, yazın ve kışın sıcaklık farklarının mutlak değerlerinin eşit olması demektir:

  $|T_{yaz} - T_{inşa}| = |T_{kış} - T_{inşa}|$

  Bu eşitliğin sağlanması için $T_{inşa}$ sıcaklığı, yaz ve kış sıcaklıklarının tam ortasında olmalıdır. Yani, bu iki sıcaklığın aritmetik ortalaması alınır.

  $T_{inşa} = \frac{T_{yaz} + T_{kış}}{2}$

• Hesaplamayı Yapalım:

  Verilen $T_{yaz} = 40 \text{ °C}$ ve $T_{kış} = -10 \text{ °C}$ değerlerini formülde yerine koyalım:

  $T_{inşa} = \frac{40 \text{ °C} + (-10 \text{ °C})}{2}$

  $T_{inşa} = \frac{30}{2}$

  $T_{inşa} = 15 \text{ °C}$

• Sonuç:

  Köprü $15 \text{ °C}$ sıcaklıkta inşa edilirse, yazın $40 \text{ °C}$'ye kadar genleşme ve kışın $-10 \text{ °C}$'ye kadar büzülme miktarları, inşa sıcaklığına göre simetrik olacak ve böylece köprünün yaşayacağı toplam uzunluk değişimi (maksimum sapma) minimum olacaktır.

Cevap A seçeneğidir.