Bir inşaat mühendisi, aynı malzemeden yapılmış farklı boyutlardaki kolonların dayanıklılığını hesaplıyor. Kesiti kare şeklinde olan bir kolonun kenar uzunluğu 2 katına çıkarıldığında ve yüksekliği de 2 katına çıkarıldığında, yeni kolonun dayanıklılığı ilk duruma göre nasıl değişir?
A) 2 katına çıkar
B) 4 katına çıkar
C) Yarıya iner
D) Değişmez
Bir inşaat mühendisi için kolonların dayanıklılığı, genellikle taşıyabileceği maksimum yük veya burkulmaya karşı gösterdiği dirençle ifade edilir. Özellikle uzun ve ince kolonlar için en kritik dayanıklılık ölçütlerinden biri, kolonun burkulmaya başlayacağı kritik burkulma gerilmesidir. Bu soruda "dayanıklılık" terimini kritik burkulma gerilmesi olarak ele alacağız.
- İlk Durumdaki Kolonun Özellikleri:
- Kolonun kenar uzunluğu: $a$
- Kolonun yüksekliği: $h$
- Kesit alanı: $A_1 = a^2$
- Atalet yarıçapı ($r_1$): Kesiti kare olan bir kolon için atalet yarıçapı $r = \sqrt{\frac{I}{A}}$ formülüyle bulunur. Burada $I$ atalet momenti ve $A$ kesit alanıdır. Kare kesit için $I = \frac{a^4}{12}$ olduğundan, $r_1 = \sqrt{\frac{a^4/12}{a^2}} = \sqrt{\frac{a^2}{12}} = \frac{a}{\sqrt{12}}$ olur.
- Yeni Durumdaki Kolonun Özellikleri:
- Kolonun kenar uzunluğu 2 katına çıkarılıyor: $a_2 = 2a$
- Kolonun yüksekliği 2 katına çıkarılıyor: $h_2 = 2h$
- Kesit alanı: $A_2 = (2a)^2 = 4a^2$
- Atalet yarıçapı ($r_2$): Yeni kenar uzunluğu $2a$ olduğundan, $r_2 = \sqrt{\frac{(2a)^4/12}{(2a)^2}} = \sqrt{\frac{16a^4/12}{4a^2}} = \sqrt{\frac{4a^2}{12}} = \frac{2a}{\sqrt{12}}$ olur. Bu da $r_2 = 2 \times (\frac{a}{\sqrt{12}}) = 2r_1$ anlamına gelir. Yani atalet yarıçapı da 2 katına çıkmıştır.
- Kritik Burkulma Gerilmesi ($\sigma_{kr}$):
- Bir kolonun burkulmaya karşı dayanıklılığını ifade eden kritik burkulma gerilmesi (Euler formülüne göre), aşağıdaki formülle hesaplanır:
- $\sigma_{kr} = \frac{\pi^2 E}{(\frac{KL}{r})^2}$
- Burada:
- $E$: Malzemenin elastisite modülü (aynı malzeme olduğu için sabittir).
- $K$: Etkin boy faktörü (kolonun uç koşullarına bağlıdır ve değişmez kabul edilir).
- $L$: Kolonun yüksekliği.
- $r$: Kolonun atalet yarıçapı.
- Bu formülde $\frac{KL}{r}$ ifadesi narinlik oranı olarak adlandırılır ve kolonun burkulma davranışını belirleyen temel parametredir. Kritik burkulma gerilmesi, narinlik oranının karesiyle ters orantılıdır.
- Narinlik Oranının Karşılaştırılması:
- İlk durumdaki narinlik oranı ($\lambda_1$):
- $\lambda_1 = \frac{K L_1}{r_1} = \frac{K h}{a/\sqrt{12}} = \frac{K h \sqrt{12}}{a}$
- Yeni durumdaki narinlik oranı ($\lambda_2$):
- Yeni durumda yükseklik $L_2 = 2h$ ve atalet yarıçapı $r_2 = 2r_1 = 2a/\sqrt{12}$ olmuştur.
- $\lambda_2 = \frac{K L_2}{r_2} = \frac{K (2h)}{(2a)/\sqrt{12}} = \frac{K (2h) \sqrt{12}}{2a} = \frac{K h \sqrt{12}}{a}$
- Görüldüğü gibi, ilk durumdaki narinlik oranı ile yeni durumdaki narinlik oranı birbirine eşittir ($\lambda_1 = \lambda_2$).
- Narinlik oranı değişmediği için, kritik burkulma gerilmesi ($\sigma_{kr}$) de değişmeyecektir. Bu da, kolonun birim kesit alanına düşen burkulma dayanıklılığının aynı kaldığı anlamına gelir. Kolonun boyutları büyüse de, narinliği aynı kaldığı için burkulmaya karşı gösterdiği birim alan başına direnç değişmez.
Cevap D seçeneğidir.
