Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün sizlerle temel integral kurallarını kullanarak bir soruyu adım adım çözeceğiz. İntegral, türevin tersi bir işlem olup, fonksiyonların alanlarını veya birikimlerini bulmak için kullanılır. Hazırsanız başlayalım!
- Adım 1: İntegrali parçalara ayırma
- İntegralini almamız istenen ifade $\int(x^2 + \frac{1}{x^2}) dx$ şeklindedir. İntegral alma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerinde dağılma özelliği vardır. Bu, ifadeyi iki ayrı integralin toplamı olarak yazabileceğimiz anlamına gelir:
$\int x^2 dx + \int \frac{1}{x^2} dx$
- Adım 2: İkinci terimi üslü ifade olarak yeniden yazma
- İkinci terim olan $\frac{1}{x^2}$ ifadesini, integral alma kurallarını daha kolay uygulayabilmek için üslü biçimde yazalım. Paydadaki bir terimi paya çıkarırken üssünün işaretini değiştiririz:
$\frac{1}{x^2} = x^{-2}$
Şimdi integralimiz şu hale geldi: $\int x^2 dx + \int x^{-2} dx$
- Adım 3: Güç (Kuvvet) Kuralını Uygulama
- İntegral alırken en sık kullandığımız kurallardan biri güç (kuvvet) kuralıdır. Bu kurala göre, $n \neq -1$ olmak üzere $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ şeklindedir. Bu kuralı her iki terim için ayrı ayrı uygulayalım:
- Birinci terim için ($x^2$):
Burada $n=2$'dir. Kuralı uyguladığımızda:
$\int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C_1 = \frac{x^3}{3} + C_1$
- İkinci terim için ($x^{-2}$):
Burada $n=-2$'dir. Kuralı uyguladığımızda:
$\int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C_2 = \frac{x^{-1}}{-1} + C_2$
- Adım 4: İkinci terimi sadeleştirme ve birleştirme
- İkinci terimi daha anlaşılır bir biçimde yazalım:
$\frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x^1} = -\frac{1}{x}$
Şimdi her iki terimin integralini birleştirelim. İntegral sabitlerini ($C_1$ ve $C_2$) tek bir $C$ sabiti altında toplayabiliriz:
$\int(x^2 + \frac{1}{x^2}) dx = \frac{x^3}{3} - \frac{1}{x} + C$
- Adım 5: Sonucu seçeneklerle karşılaştırma
- Bulduğumuz sonuç olan $\frac{x^3}{3} - \frac{1}{x} + C$ ifadesini verilen seçeneklerle karşılaştırdığımızda, A seçeneği ile eşleştiğini görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
