Kökler çarpımı formülü (x₁ * x₂) = c/a

Question

Bu formülü kullanırken hangi katsayıların c ve a'ya denk geldiğini karıştırıyorum. Denklemdeki sabit terim ile x²'nin katsayısını doğru eşleştiremediğim için sonuç yanlış çıkıyor. Özellikle denklem düzenlenmiş halde değilse hangi sayıyı nereye yazacağım konusunda kafam karışıyor.

Answer 1

📐 Kökler Çarpımı Formülü: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \)

İkinci dereceden bir denklemle karşılaştığında, onun kökleri (yani çözümleri) arasında çok güzel bir ilişki vardır. Bu ilişkilerden biri de kökler çarpımıdır. 🎯

🧠 Formülün Temeli

Genel bir ikinci dereceden denklem şu şekilde yazılır:

\( ax^2 + bx + c = 0 \)

Bu denklemin iki kökü olduğunu varsayalım. Bu kökler \( x_1 \) ve \( x_2 \) olsun.

Kökler Çarpımı Formülü bize şunu söyler:

\( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \)

🔍 Formül Nereden Geliyor?

Bu formül, ikinci dereceden denklemlerin katsayılar ve kökler arasındaki ilişkisini ifade eden Viète Formüllerinden biridir. 💡

Denklemi çarpanlarına ayırdığımızı düşünelim. Kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \) olan bir denklem şu şekilde yazılabilir:

\( a(x - x_1)(x - x_2) = 0 \)

Bu ifadeyi açalım:

\( a[x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2)] = 0 \)

Yani:

\( ax^2 - a(x_1 + x_2)x + a(x_1 \cdot x_2) = 0 \)

Bu denklemi orijinal denklemimizle \( (ax^2 + bx + c = 0) \) karşılaştıralım. Katsayılar aynı olmalıdır:

• ➡️ \( x^2 \)'li terimin katsayısı: \( a = a \)
• ➡️ \( x \)'li terimin katsayısı: \( -a(x_1 + x_2) = b \)
• ➡️ Sabit terim: \( a(x_1 \cdot x_2) = c \)

İşte! Sabit terimden gelen denklemi ele alalım:

\( a(x_1 \cdot x_2) = c \)

Her iki tarafı \( a \)'ya bölersek, formülümüzü elde ederiz:

\( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \) ✅

📝 Örnek Soru Çözümü

Örnek: \( 2x^2 - 8x + 6 = 0 \) denkleminin kökler çarpımını bulalım.

Çözüm:

1. 🎯 Denklemi inceleyelim: \( a = 2 \), \( b = -8 \), \( c = 6 \)
2. 🎯 Formülümüz: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \)
3. 🎯 Yerine koyalım: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{6}{2} = 3 \)

Denklemin kökler çarpımı 3'tür. Kökleri bulmamıza gerek kalmadan, sadece katsayılara bakarak bu sonuca ulaştık! ✨

💎 Önemli Noktalar

• 📌 Bu formül, denklemin köklerini bulmadan kökler arasındaki çarpım ilişkisini görmemizi sağlar.
• 📌 Formülü kullanırken \( a \) ve \( c \) katsayılarının işaretlerine çok dikkat etmelisin.
• 📌 Eğer \( a = 1 \) ise (yani denklem \( x^2 + bx + c = 0 \) şeklindeyse), kökler çarpımı direkt olarak \( c \) sabitine eşit olur. \( x_1 \cdot x_2 = c \)

Bu formül, ikinci dereceden denklemlerle ilgili problemleri çözerken sana büyük bir hız ve kolaylık sağlayacak. 🚀