Sondaki sıfır sayısı nasıl bulunur (Faktöriyel) Test 1

100! sayısının sonunda kaç tane sıfır vardır?

A) 20
B) 24
C) 28
D) 32

Bir sayının sonunda kaç tane sıfır olduğunu bulmak, o sayının asal çarpanlarına ayrıldığında kaç tane $10$ çarpanı içerdiğini bulmak demektir. Çünkü $10 = 2 \times 5$'tir. Bu nedenle, $100!$ sayısının sonunda kaç sıfır olduğunu bulmak için, $100!$ sayısının asal çarpanları arasında kaç tane $2$ ve kaç tane $5$ çarpanı olduğunu bulmamız gerekir.

Ancak, faktöriyel hesaplamalarında ($n!$), $2$ asal çarpanının sayısı her zaman $5$ asal çarpanının sayısından çok daha fazla olacaktır. Örneğin, $100!$ içinde $2, 4, 6, 8, \dots, 100$ gibi sayılar $2$ çarpanı içerirken, $5, 10, 15, \dots, 100$ gibi sayılar $5$ çarpanı içerir. Bu durumda, sıfır sayısını belirleyen, daha az olan asal çarpanın sayısıdır. Yani, sadece $5$ çarpanlarının sayısını bulmamız yeterlidir.

$100!$ sayısının içinde kaç tane $5$ çarpanı olduğunu bulmak için aşağıdaki adımları izleriz:

• Öncelikle $100$ sayısını $5$'e böleriz ve tam kısmını alırız: $100 \div 5 = 20$
• Daha sonra $100$ sayısını $5^2 = 25$'e böleriz ve tam kısmını alırız: $100 \div 25 = 4$
• Son olarak $100$ sayısını $5^3 = 125$'e böleriz. $100 < 125$ olduğu için bu işlemin tam kısmı $0$ olacaktır. Bu yüzden burada dururuz.
• Bulduğumuz tam kısımları toplarız. Bu toplam, $100!$ sayısının içindeki toplam $5$ çarpanı sayısını verir ve dolayısıyla sondaki sıfır sayısını belirler. Toplam sıfır sayısı $= 20 + 4 = 24$

Bu yöntem, $n!$ sayısının sonundaki sıfır sayısını bulmak için kullanılan standart bir yöntemdir.

Cevap B seçeneğidir.