50! sayısının sonundaki sıfır sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
Merhaba sevgili öğrenciler! Bir sayının sonundaki sıfır sayısı, o sayının çarpanları arasında kaç tane $10$ olduğunu gösterir. $10$ sayısının asal çarpanları $2 \times 5$ olduğu için, bir sayının sonundaki sıfır sayısını bulmak için o sayının asal çarpanlarına ayrılmış halinde kaç tane $5$ çarpanı olduğunu bulmamız yeterlidir. Çünkü bir faktöriyelde ($n!$) $2$ çarpanı sayısı her zaman $5$ çarpanı sayısından daha fazla olacaktır. Bu nedenle, $50!$ sayısının sonundaki sıfır sayısını bulmak için, $50!$ içindeki $5$ çarpanlarının sayısını bulmalıyız.
Adım 1: 5'in Katlarını Bulma
İlk olarak, $1$'den $50$'ye kadar olan sayılar arasında kaç tane $5$'in katı olduğunu buluruz. Bu sayılar, $5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50$'dir. Bu, $\lfloor \frac{50}{5} \rfloor$ işlemiyle bulunur.
$\lfloor \frac{50}{5} \rfloor = \lfloor 10 \rfloor = 10$
Bu bize $10$ tane $5$ çarpanı olduğunu gösterir.
Adım 2: $5^2$ (yani 25)'in Katlarını Bulma
Bazı sayılar birden fazla $5$ çarpanı içerir. Örneğin, $25$ sayısı $5 \times 5$ olduğu için iki tane $5$ çarpanına sahiptir. Biz ilk adımda bu sayılardan sadece bir tane $5$ çarpanını saydık. Bu yüzden, $5^2 = 25$'in katlarını ayrıca sayarak eksik kalan $5$ çarpanlarını eklemeliyiz. $1$'den $50$'ye kadar olan sayılar arasında $25$'in katları $25, 50$'dir. Bu, $\lfloor \frac{50}{25} \rfloor$ işlemiyle bulunur.
$\lfloor \frac{50}{25} \rfloor = \lfloor 2 \rfloor = 2$
Bu bize ekstra $2$ tane $5$ çarpanı olduğunu gösterir.
Adım 3: $5^3$ (yani 125)'in Katlarını Kontrol Etme
Şimdi de $5^3 = 125$'in katlarını kontrol etmeliyiz. Ancak $1$'den $50$'ye kadar olan sayılar arasında $125$'in katı yoktur. Bu, $\lfloor \frac{50}{125} \rfloor$ işlemiyle bulunur.
$\lfloor \frac{50}{125} \rfloor = \lfloor 0.4 \rfloor = 0$
Bu adımda ekleyeceğimiz bir $5$ çarpanı bulunmamaktadır. Bu tür hesaplamalarda, bölen sayı ($p, p^2, p^3, \dots$) bölünen sayıdan ($n$) büyük olduğunda dururuz.
Adım 4: Toplam 5 Çarpanı Sayısını Bulma
Bulduğumuz tüm $5$ çarpanlarını toplarız:
Toplam $5$ çarpanı sayısı = (5'in katlarından gelenler) + (25'in katlarından gelenler) + (125'in katlarından gelenler) + ...
Toplam $5$ çarpanı sayısı = $10 + 2 + 0 = 12$
Bu durumda, $50!$ sayısının sonunda $12$ tane sıfır vardır.
Cevap B seçeneğidir.
