Sondaki sıfır sayısı nasıl bulunur (Faktöriyel) Test 1

40! sayısının sonunda kaç tane sıfır vardır?

A) 8
B) 9
C) 10
D) 11

Merhaba sevgili öğrenciler! Bir sayının sonunda kaç tane sıfır olduğunu bulmak, özellikle faktöriyel gibi büyük sayılarda oldukça ilginç bir problemdir. Bu tür soruları çözerken, aslında o sayının içinde kaç tane $10$ çarpanı olduğunu bulmaya çalışırız. Çünkü her $10$ çarpanı, sayının sonuna bir sıfır ekler.

Peki, $10$ çarpanını nasıl elde ederiz? $10 = 2 \times 5$ olduğu için, bir sayının sonunda kaç tane sıfır olduğunu bulmak için, o sayının asal çarpanlarına ayrıldığında kaç tane $2$ ve kaç tane $5$ çarpanı olduğunu bulmamız gerekir. Faktöriyellerde ($n!$), $2$ çarpanlarının sayısı her zaman $5$ çarpanlarının sayısından çok daha fazla olacaktır. Bu yüzden, sadece $5$ çarpanlarının sayısını bulmamız yeterlidir. Çünkü kaç tane $5$ varsa, o kadar $2$ ile eşleşip $10$ oluşturabiliriz.

• Adım 1: $40!$ içindeki $5$ çarpanlarını bulmak için ilk bölme işlemini yapın.

• Bir sayının faktöriyelinde ($n!$) kaç tane $5$ çarpanı olduğunu bulmak için, $n$ sayısını $5$'e böleriz ve bölümü alırız. Bu işlem, $5, 10, 15, \dots, 40$ gibi $5$'in katı olan her sayıdan en az bir tane $5$ çarpanı geldiğini gösterir.

  Hesaplama: $40 \div 5 = 8$.

  Yani, $40$'a kadar olan sayılar arasında $5$'in katı olan $8$ tane sayı vardır (5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40). Bu sayılar, bize en az $8$ tane $5$ çarpanı sağlar.

• Adım 2: $40!$ içindeki $5^2$ (yani $25$) çarpanlarını bulmak için ikinci bölme işlemini yapın.

• Bazı sayılar birden fazla $5$ çarpanı içerir. Örneğin, $25$ sayısı $5 \times 5$ olduğu için iki tane $5$ çarpanı barındırır. İlk adımda $25$'ten gelen bir $5$ çarpanını zaten saydık. Şimdi, $25$'ten gelen ekstra $5$ çarpanlarını bulmamız gerekiyor.

  Bunun için, $40$'ı $5^2 = 25$'e böleriz ve bölümü alırız.

  Hesaplama: $40 \div 25 = 1$ (kalan $15$).

  Bu, $40$'a kadar olan sayılar arasında $25$'in katı olan $1$ tane sayı olduğu anlamına gelir (sadece $25$). Bu sayı, bize fazladan $1$ tane $5$ çarpanı daha sağlar.

• Adım 3: Daha yüksek kuvvetler için bölme işlemine devam edin.

• Şimdi $40$'ı $5^3 = 125$'e bölmemiz gerekir. Eğer sonuç $0$'dan büyük bir tam sayı olursa, o çarpanları da eklememiz gerekir.

  Hesaplama: $40 \div 125 = 0$ (kalan $40$).

  Bölüm $0$ olduğu için, daha fazla $5$ çarpanı eklememize gerek yoktur. İşlem burada sona erer.

• Adım 4: Toplam $5$ çarpanı sayısını bulun.

• Bulduğumuz tüm bölümlerin toplamı, $40!$ sayısının içindeki toplam $5$ çarpanı sayısını verecektir.

  Toplam $5$ çarpanı sayısı = (Adım 1'deki bölüm) + (Adım 2'deki bölüm) + (Adım 3'teki bölüm)

  Toplam $5$ çarpanı sayısı = $8 + 1 + 0 = 9$.

  Bu durumda, $40!$ sayısının sonunda $9$ tane sıfır vardır.

Cevap B seçeneğidir.