Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, hareketli bir sistem içindeki bir cismin yere göre hızını bulacağız. Bu tür sorular, vektörlerin toplanması prensibini anlamak için harikadır. Adım adım ilerleyelim:
- Verilenleri Anlayalım:
- Aracın kuzey yönünde $10 \text{ m/s}$ hızla gittiği belirtiliyor. Bu, aracın yere göre hızıdır ($\vec{V}_{\text{araç}}$).
- Topun aracın içinde doğu yönünde $6 \text{ m/s}$ hızla atıldığı belirtiliyor. Bu, topun araca göre hızıdır ($\vec{V}_{\text{top/araç}}$).
- Bizden istenen, topun yere göre hızının büyüklüğüdür ($\vec{V}_{\text{top/yer}}$).
- Vektörleri Tanımlayalım:
- Aracın yere göre hızı: $\vec{V}_{\text{araç}} = 10 \text{ m/s}$ (Kuzey yönünde)
- Topun araca göre hızı: $\vec{V}_{\text{top/araç}} = 6 \text{ m/s}$ (Doğu yönünde)
- Bağıl Hız Prensibini Uygulayalım:
- Bir cismin yere göre hızı, o cismin hareket ettiği sisteme göre hızı ile sistemin yere göre hızının vektörel toplamıdır. Yani, $\vec{V}_{\text{top/yer}} = \vec{V}_{\text{top/araç}} + \vec{V}_{\text{araç}}$.
- Yönleri Dikkate Alalım:
- Kuzey ve Doğu yönleri birbirine diktir (aralarında $90^\circ$ açı vardır). Bu durumda, iki vektörün toplamının büyüklüğünü bulmak için Pisagor teoremini kullanabiliriz.
- Pisagor Teoremini Kullanarak Büyüklüğü Hesaplayalım:
- Topun yere göre hızının büyüklüğü ($|\vec{V}_{\text{top/yer}}|$), bu iki dik vektörün bileşkesinin büyüklüğüdür.
- $|\vec{V}_{\text{top/yer}}|^2 = |\vec{V}_{\text{top/araç}}|^2 + |\vec{V}_{\text{araç}}|^2$
- $|\vec{V}_{\text{top/yer}}|^2 = (6 \text{ m/s})^2 + (10 \text{ m/s})^2$
- $|\vec{V}_{\text{top/yer}}|^2 = 36 \text{ m}^2/\text{s}^2 + 100 \text{ m}^2/\text{s}^2$
- $|\vec{V}_{\text{top/yer}}|^2 = 136 \text{ m}^2/\text{s}^2$
- $|\vec{V}_{\text{top/yer}}| = \sqrt{136} \text{ m/s}$
- $\sqrt{136}$ ifadesini sadeleştirelim: $\sqrt{4 \times 34} = 2\sqrt{34} \text{ m/s}$.
- Ancak seçeneklerde tam sayılar var, bu durumda soruda bir hata veya yuvarlama beklentisi olabilir. Tekrar kontrol edelim.
- Ah, dikkat! Seçenek D $12$ olarak verilmiş. İşlemi tekrar kontrol edelim.
- $6^2 + 10^2 = 36 + 100 = 136$. $\sqrt{136}$ yaklaşık $11.66$. Bu durumda seçenekler arasında $12$ en yakın değer olabilir.
- Ancak, eğer seçenek D doğru cevap ise, bu durumda ya sorudaki sayılar ya da seçeneklerdeki sayılar farklı olmalıydı. Örneğin, eğer araç $8 \text{ m/s}$ hızla gitseydi: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$, $\sqrt{100} = 10$. Ya da top $8 \text{ m/s}$ hızla atılsa ve araç $6 \text{ m/s}$ hızla gitseydi yine $10 \text{ m/s}$ olurdu.
- Sorunun doğru cevabı D olarak belirtildiğine göre, bu durumda ya sayılar $6$ ve $8$ olmalıydı (sonuç $10$) ya da $10$ ve $8$ olmalıydı (sonuç $\sqrt{164} \approx 12.8$).
- Önemli Not: Eğer soruda verilen sayılar $6 \text{ m/s}$ ve $10 \text{ m/s}$ ise, Pisagor teoremine göre sonuç $\sqrt{136} \approx 11.66 \text{ m/s}$ olacaktır. Ancak, doğru cevap D seçeneği ($12 \text{ m/s}$) olarak verildiği için, sorunun orijinalinde sayılar farklı olabilir veya seçenekler yuvarlanmış olabilir. Genellikle bu tür sorularda tam sayı çıkan değerler kullanılır (örneğin $6, 8, 10$ üçgeni gibi).
- Varsayım: Sorunun yazımında bir hata olduğunu ve aslında hızlardan birinin $8 \text{ m/s}$ olması gerektiğini varsayalım ki sonuç tam sayı çıksın ve seçeneklere uysun. Eğer hızlar $6 \text{ m/s}$ ve $8 \text{ m/s}$ olsaydı:
- $|\vec{V}_{\text{top/yer}}|^2 = (6 \text{ m/s})^2 + (8 \text{ m/s})^2$
- $|\vec{V}_{\text{top/yer}}|^2 = 36 \text{ m}^2/\text{s}^2 + 64 \text{ m}^2/\text{s}^2$
- $|\vec{V}_{\text{top/yer}}|^2 = 100 \text{ m}^2/\text{s}^2$
- $|\vec{V}_{\text{top/yer}}| = \sqrt{100} \text{ m/s} = 10 \text{ m/s}$. Bu da C seçeneği olurdu.
- Eğer hızlar $10 \text{ m/s}$ ve $6 \text{ m/s}$ ise, $\sqrt{136} \approx 11.66 \text{ m/s}$. En yakın tam sayı $12$ olabilir. Bu durumda D seçeneği doğru kabul edilebilir.
- Sonuç olarak, verilen sayılarla ($10 \text{ m/s}$ ve $6 \text{ m/s}$) Pisagor teoremini uyguladığımızda $\sqrt{136} \approx 11.66 \text{ m/s}$ buluruz. Seçenekler arasında $12 \text{ m/s}$ bu değere en yakın olanıdır. Bu tür durumlarda, en yakın tam sayı seçeneği işaretlenir veya sorunun tam sayı çıkacak şekilde ayarlandığı varsayılır.
Cevap D seçeneğidir.
