|2x + 1| < 7 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
Sevgili öğrenciler, bugün sizlerle mutlak değer içeren bir eşitsizliği adım adım nasıl çözeceğimizi öğreneceğiz. Mutlak değer, bir sayının sıfıra olan uzaklığını ifade eder ve bu tür eşitsizliklerin kendine özgü bir çözüm yöntemi vardır.
Sorumuz: $|2x + 1| < 7$ eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
Bir $u$ ifadesi için, eğer $|u| < a$ (burada $a$ pozitif bir sayı olmalıdır) şeklinde bir eşitsizliğimiz varsa, bu eşitsizliği aşağıdaki gibi iki basit eşitsizliğe dönüştürebiliriz:
$-a < u < a$
Bu kural, $u$'nun sıfıra olan uzaklığının $a$'dan küçük olduğu anlamına gelir, yani $u$, $-a$ ile $a$ arasında bir değer almalıdır.
Bizim eşitsizliğimizde $u = 2x + 1$ ve $a = 7$'dir. Bu durumda, kuralı uyguladığımızda eşitsizliğimiz şu hale gelir:
$-7 < 2x + 1 < 7$
Bu, $2x + 1$ ifadesinin $-7$'den büyük ve $7$'den küçük olması gerektiği anlamına gelir.
Amacımız $x$'i yalnız bırakmaktır. İlk olarak, $2x + 1$ ifadesindeki $+1$'den kurtulmak için eşitsizliğin her üç tarafından $1$ çıkarırız:
$-7 - 1 < 2x + 1 - 1 < 7 - 1$
Bu işlemi yaptığımızda eşitsizliğimiz şu şekli alır:
$-8 < 2x < 6$
Şimdi $x$'in katsayısı olan $2$'den kurtulmak için eşitsizliğin her üç tarafını $2$'ye böleriz. Pozitif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizlik yön değiştirmez:
$\frac{-8}{2} < \frac{2x}{2} < \frac{6}{2}$
Bu işlemi yaptığımızda $x$ için çözüm aralığını buluruz:
$-4 < x < 3$
Bulduğumuz $-4 < x < 3$ ifadesi, $x$'in $-4$ ile $3$ arasındaki tüm gerçek sayı değerlerini alabileceği anlamına gelir ($-4$ ve $3$ dahil değildir). Bu aralık matematiksel olarak açık aralık gösterimiyle ifade edilir:
$(-4, 3)$
Bu, çözüm kümemizin ta kendisidir.
Bu adımları takip ettiğimizde, eşitsizliğin çözüm kümesinin $(-4, 3)$ olduğunu görmüş oluruz.
Cevap A seçeneğidir.
