\( 3^{2x+1} + 3^{2x} = 108 \) denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
A) 1Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün sizlerle üslü denklemlerle ilgili güzel bir soruyu adım adım çözeceğiz. Amacımız, bilinmeyeni ($x$) bulmak için üslü sayıların özelliklerini doğru bir şekilde kullanmak.
Denklemimiz: $3^{2x+1} + 3^{2x} = 108$
Adım 1: Üslü İfadeleri Sadeleştirme
Üslü sayılarda çarpma kuralını hatırlayalım: $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$. Bu kuralı kullanarak $3^{2x+1}$ ifadesini parçalayabiliriz:
$3^{2x+1} = 3^{2x} \cdot 3^1$
Şimdi bu ifadeyi denklemimizde yerine yazalım:
$(3^{2x} \cdot 3^1) + 3^{2x} = 108$
$3^{2x} \cdot 3 + 3^{2x} = 108$
Adım 2: Ortak Çarpan Parantezine Alma
Denklemdeki her iki terimde de ortak olan bir ifade var: $3^{2x}$. Bu ifadeyi ortak çarpan parantezine alabiliriz:
$3^{2x} (3 + 1) = 108$
Adım 3: Parantez İçindeki İşlemi Yapma
Parantez içindeki toplama işlemini gerçekleştirelim:
$3^{2x} (4) = 108$
Adım 4: Üslü İfadeyi Yalnız Bırakma
$3^{2x}$ ifadesini yalnız bırakmak için denklemin her iki tarafını 4'e bölelim:
$3^{2x} = \frac{108}{4}$
$3^{2x} = 27$
Adım 5: Tabanları Eşitleme
Şimdi denklemin her iki tarafındaki sayıları aynı tabanda yazmaya çalışalım. 27 sayısının 3'ün bir kuvveti olduğunu biliyoruz: $27 = 3^3$.
Denklemimiz şu hale gelir:
$3^{2x} = 3^3$
Adım 6: Üsleri Eşitleme ve x Değerini Bulma
Tabanlar eşit olduğunda, üsler de birbirine eşit olmalıdır. Bu durumda:
$2x = 3$
Şimdi $x$'i bulmak için her iki tarafı 2'ye bölelim:
$x = \frac{3}{2}$
$x = 1.5$
Böylece denklemi sağlayan $x$ değerini $1.5$ olarak bulmuş olduk.
Cevap B seçeneğidir.
