Aynı Tabanlı Sayılarla İşlem Nasıl Yapılır? Test 1

\( \left( \frac{2}{3} \right)^{x} = \frac{81}{16} \) denklemini sağlayan x değeri kaçtır?

A) -4
B) -2
C) 2
D) 4

• Adım 1: Denklemi İnceleyelim
• Bize verilen denklem $ \left( \frac{2}{3} \right)^{x} = \frac{81}{16} $ şeklindedir. Amacımız, $x$ değerini bulmaktır. Bu tür üslü denklemlerde, genellikle tabanları eşitlemeye çalışırız.
• Adım 2: Sağ Tarafı Üslü İfade Olarak Yazalım
• Denklemin sağ tarafındaki $ \frac{81}{16} $ ifadesini, sol taraftaki $ \frac{2}{3} $ tabanına benzetmeye çalışmalıyız. Bunun için $81$ ve $16$ sayılarını üslü olarak yazalım:
• $81 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4$
• $16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4$
• Bu durumda, $ \frac{81}{16} $ ifadesi $ \frac{3^4}{2^4} $ olarak yazılabilir.
• Adım 3: Üslü İfadeyi Tek Tabanda Birleştirelim
• Üslü sayılarda bir kural vardır: Pay ve paydanın üsleri aynıysa, bu ifadeyi tek bir kesrin üssü olarak yazabiliriz. Yani, $ \frac{a^n}{b^n} = \left( \frac{a}{b} \right)^n $.
• Bu kuralı kullanarak $ \frac{3^4}{2^4} $ ifadesini $ \left( \frac{3}{2} \right)^4 $ şeklinde yazabiliriz.
• Şimdi denklemimiz şu hale geldi: $ \left( \frac{2}{3} \right)^{x} = \left( \frac{3}{2} \right)^4 $.
• Adım 4: Tabanları Eşitleyelim
• Denklemin sol tarafındaki taban $ \frac{2}{3} $, sağ tarafındaki taban ise $ \frac{3}{2} $'dir. Bu iki taban birbirinin çarpmaya göre tersidir (yani biri diğerinin ters çevrilmiş halidir).
• Bir sayının çarpmaya göre tersini üslü olarak ifade etmek için üssünü negatif yaparız. Örneğin, $ \frac{3}{2} = \left( \frac{2}{3} \right)^{-1} $ diyebiliriz.
• Bu bilgiyi kullanarak sağ taraftaki ifadeyi yeniden yazalım:
• $ \left( \frac{3}{2} \right)^4 = \left( \left( \frac{2}{3} \right)^{-1} \right)^4 $
• Üslü sayılarda bir diğer kural ise $ (a^m)^n = a^{m \times n} $ şeklindedir. Yani üsler çarpılır.
• Bu kuralı uyguladığımızda: $ \left( \left( \frac{2}{3} \right)^{-1} \right)^4 = \left( \frac{2}{3} \right)^{-1 \times 4} = \left( \frac{2}{3} \right)^{-4} $ olur.
• Adım 5: x Değerini Bulalım
• Şimdi denklemimiz şu hale geldi: $ \left( \frac{2}{3} \right)^{x} = \left( \frac{2}{3} \right)^{-4} $.
• Tabanlar eşit olduğunda, üsler de eşit olmak zorundadır (taban $0, 1$ veya $-1$ değilse).
• Bu durumda, $x = -4$ sonucuna ulaşırız.
• Adım 6: Cevabı Kontrol Edelim
• Bulduğumuz $x = -4$ değerini orijinal denklemde yerine koyalım:
• $ \left( \frac{2}{3} \right)^{-4} = \left( \frac{3}{2} \right)^4 = \frac{3^4}{2^4} = \frac{81}{16} $.
• Gördüğümüz gibi, denklem sağlanmaktadır.

Cevap A seçeneğidir.