Bölüm şeklindeki ifadeler (1/x) polinom olur mu Test 1

\( \frac{1}{x} \) ifadesinin polinom olup olmaması ile ilgili aşağıdaki öğrenci görüşleri verilmiştir:
- Ayşe: "Polinom olamaz çünkü üssü negatiftir."
- Mehmet: "Polinom olabilir çünkü katsayılar reel sayıdır."
- Zeynep: "Polinom değildir çünkü değişken paydadadır."
Buna göre hangi öğrencilerin görüşü doğrudur?

A) Yalnız Ayşe
B) Ayşe ve Mehmet
C) Ayşe ve Zeynep
D) Mehmet ve Zeynep

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, polinom kavramını daha iyi anlamak için $ \frac{1}{x} $ ifadesini inceleyeceğiz ve arkadaşlarımızın görüşlerini değerlendireceğiz. Bir ifadenin polinom olup olmadığını anlamak için temel kuralları hatırlayalım:

• Bir polinomda değişkenlerin (burada $x$) üsleri (kuvvetleri) mutlaka doğal sayı (0, 1, 2, 3, ...) olmalıdır. Yani, üsler negatif veya kesirli olamaz.
• Değişkenler paydada bulunamaz. Eğer değişken paydadaysa, üssü negatif demektir.
• Değişkenler kök içinde bulunamaz.
• Katsayılar reel sayı olabilir.

Şimdi $ \frac{1}{x} $ ifadesini bu kurallar çerçevesinde inceleyelim:

• Öncelikle, $ \frac{1}{x} $ ifadesini üslü biçimde yazalım. Paydadaki bir değişkeni paya çıkardığımızda üssü işaret değiştirir. Yani $ \frac{1}{x} = x^{-1} $ olur.

• Şimdi arkadaşlarımızın görüşlerini tek tek değerlendirelim:

  • Ayşe'nin görüşü: "Polinom olamaz çünkü üssü negatiftir."

    Biz $ \frac{1}{x} $ ifadesini $ x^{-1} $ olarak yazdık. Burada $x$'in üssü $ -1 $ 'dir. Polinom tanımına göre değişkenin üssü doğal sayı (non-negatif tam sayı) olmalıdır. $ -1 $ bir doğal sayı değildir, negatiftir. Bu nedenle Ayşe'nin görüşü doğrudur.

  • Mehmet'in görüşü: "Polinom olabilir çünkü katsayılar reel sayıdır."

    $ x^{-1} $ ifadesinin katsayısı $ 1 $ 'dir ve $ 1 $ bir reel sayıdır. Katsayıların reel sayı olması polinom olma şartlarından biridir, ancak tek başına yeterli değildir. Üslerin doğal sayı olma şartı da mutlaka sağlanmalıdır. Bu ifade üs şartını sağlamadığı için polinom değildir. Dolayısıyla Mehmet'in görüşü yanlıştır.

  • Zeynep'in görüşü: "Polinom değildir çünkü değişken paydadadır."

    Zeynep'in dediği gibi, $ \frac{1}{x} $ ifadesinde $x$ değişkeni paydadadır. Bir değişken paydada olduğunda, bu durum o değişkenin üssünün negatif olduğu anlamına gelir ($ x^{-1} $). Polinomlarda değişkenler paydada bulunamaz. Bu nedenle Zeynep'in görüşü de doğrudur.

• Sonuç olarak, Ayşe ve Zeynep'in görüşleri doğrudur. Her ikisi de $ \frac{1}{x} $ ifadesinin neden polinom olmadığını farklı ama doğru nedenlerle açıklamışlardır.

Cevap C seçeneğidir.