C(n,3) = C(n,7) ise n kaçtır?
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün kombinasyonlarla ilgili güzel bir problem çözeceğiz. Kombinasyonlar, belirli bir kümeden elemanları seçme yollarının sayısını bulmamıza yardımcı olan önemli bir matematik konusudur. Haydi başlayalım!
Soruda bize $C(n,3) = C(n,7)$ eşitliği verilmiş ve $n$ değerini bulmamız isteniyor.
Kombinasyonların önemli bir özelliğini hatırlayalım: Eğer $C(n,r) = C(n,k)$ ise, bu durumda iki olası durum vardır:
Şimdi bu özelliği sorumuzdaki eşitliğe uygulayalım. Burada $r=3$ ve $k=7$ değerleridir.
İlk duruma bakalım: $r = k$. Yani $3 = 7$. Bu durum açıkça yanlıştır, çünkü $3$ ve $7$ birbirine eşit değildir.
O zaman ikinci duruma geçmeliyiz: $r + k = n$.
Bu durumda, $3 + 7 = n$ eşitliğini yazabiliriz.
Eşitliği çözdüğümüzde, $n = 10$ sonucunu buluruz.
Bulduğumuz $n=10$ değerini kontrol edelim. $C(10,3)$ ve $C(10,7)$ değerlerini hesaplayabiliriz. $C(10,3) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$. Diğer yandan, $C(10,7) = C(10, 10-7) = C(10,3)$ olduğu için, bu da $120$ olacaktır. Gördüğümüz gibi eşitlik sağlanıyor!
Cevap B seçeneğidir.
