Kombinasyonlarla ilgili bu problemi adım adım, açıklayıcı ve anlaşılır bir şekilde çözelim. Kombinasyonlar, belirli bir kümeden elemanları seçme yollarının sayısını bulmamıza yardımcı olan güçlü bir matematiksel araçtır.
Verilen denklemimiz şu:
$C(6,1) = C(6,m)$
Bu denklemi çözmek için kombinasyonların temel bir özelliğini hatırlamamız gerekiyor.
- Kombinasyonların Temel Özelliği:
- $C(n,r)$ kombinasyonu, $n$ elemanlı bir kümeden $r$ eleman seçme sayısını ifade eder. Bu sayının, $n$ elemanlı bir kümeden $n-r$ eleman seçme sayısına eşit olduğunu biliyoruz. Yani,
- $C(n,r) = C(n, n-r)$
- Bu özellik, seçtiğimiz $r$ eleman yerine, seçmediğimiz $n-r$ elemanı düşünmenin aynı sonucu verdiğini gösterir.
Şimdi bu özelliği problemimize uygulayalım:
- Denklemimizde $n=6$ olduğunu görüyoruz.
- $C(6,1) = C(6,m)$ ifadesinde, yukarıdaki özelliğe göre $m$ için iki olası durum vardır:
- 1. Durum: $m$ değeri doğrudan $1$'e eşit olabilir.
- Yani, $m = 1$. Bu durumda $C(6,1) = C(6,1)$ olur ki bu doğru bir ifadedir.
- 2. Durum: $m$ değeri, $n-r$ kuralına göre $6-1$ değerine eşit olabilir.
- Yani, $m = 6 - 1$.
- Bu durumda $m = 5$ olur.
Şimdi $m=5$ değerini kontrol edelim:
- Eğer $m=5$ ise, denklemimiz $C(6,1) = C(6,5)$ haline gelir.
- Kombinasyon formülünü hatırlayalım: $C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$
- $C(6,1)$ değerini hesaplayalım:
- $C(6,1) = \frac{6!}{1!(6-1)!} = \frac{6!}{1!5!} = \frac{6 \times 5!}{1 \times 5!} = 6$
- $C(6,5)$ değerini hesaplayalım:
- $C(6,5) = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6!}{5!1!} = \frac{6 \times 5!}{5! \times 1} = 6$
- Gördüğümüz gibi, $C(6,1) = 6$ ve $C(6,5) = 6$ olduğu için, $C(6,1) = C(6,5)$ ifadesi doğrudur.
Bu durumda, $m$ için iki geçerli değer bulduk: $m=1$ ve $m=5$. Seçeneklere baktığımızda, $m=1$ (A seçeneği) ve $m=5$ (B seçeneği) her ikisi de mevcuttur. Ancak, genellikle bu tür sorularda, doğrudan eşitlikten gelen trivial çözüm (yani $m=1$) yerine, kombinasyon özelliğinden gelen diğer çözüm (yani $m=5$) sorulur. Bu, matematiksel özelliğin anlaşılıp anlaşılmadığını test etmenin bir yoludur.
Bu nedenle, doğru cevap $m=5$ olmalıdır.
Cevap B seçeneğidir.
