A = {1,2,3} kümesi üzerinde tanımlı R = {(1,2), (2,1), (1,3)} bağıntısı için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Simetriktir çünkü (1,2) ve (2,1) var
B) Simetrik değildir çünkü (1,3) var ama (3,1) yok
C) Simetriktir çünkü tüm elemanlar var
D) Simetrik değildir çünkü (2,1) var
Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruda, bir küme üzerinde tanımlı bir bağıntının "simetrik" olup olmadığını anlamamız isteniyor. Öncelikle, bir bağıntının simetrik olması ne anlama geliyor, bunu hatırlayalım:
- Bir $A$ kümesi üzerinde tanımlı bir $R$ bağıntısı, eğer $R$ kümesindeki her $(a,b)$ elemanı için, $(b,a)$ elemanı da $R$ kümesinde bulunuyorsa simetriktir denir.
- Basitçe ifade etmek gerekirse, eğer $a$ elemanı $b$ elemanıyla bir şekilde ilişkiliyse, $b$ elemanının da $a$ elemanıyla aynı şekilde ilişkili olması gerekir. Bu kural, bağıntıdaki tüm eleman çiftleri için geçerli olmalıdır. Eğer tek bir çift bile bu kuralı sağlamazsa, bağıntı simetrik değildir.
Şimdi sorumuzdaki $A = \{1,2,3\}$ kümesi üzerinde tanımlı $R = \{(1,2), (2,1), (1,3)\}$ bağıntısını adım adım inceleyelim:
- İlk eleman çifti $(1,2)$: $R$ bağıntısı içinde $(1,2)$ elemanı var. Simetrik olması için, bu elemanın tersi olan $(2,1)$ elemanının da $R$ içinde olması gerekir. Bakıyoruz, evet, $(2,1)$ elemanı da $R$ içinde mevcut. Bu çift için simetri özelliği sağlanıyor.
- İkinci eleman çifti $(2,1)$: $R$ bağıntısı içinde $(2,1)$ elemanı var. Simetrik olması için, bu elemanın tersi olan $(1,2)$ elemanının da $R$ içinde olması gerekir. Bakıyoruz, evet, $(1,2)$ elemanı da $R$ içinde mevcut. Bu çift için de simetri özelliği sağlanıyor.
- Üçüncü eleman çifti $(1,3)$: $R$ bağıntısı içinde $(1,3)$ elemanı var. Simetrik olması için, bu elemanın tersi olan $(3,1)$ elemanının da $R$ içinde olması gerekir. Şimdi $R$ bağıntısının elemanlarına dikkatlice bakalım: $R = \{(1,2), (2,1), (1,3)\}$. Bu kümede $(3,1)$ elemanı yoktur.
Simetri tanımına göre, $R$ içindeki her $(a,b)$ çifti için $(b,a)$ çiftinin de $R$ içinde olması gerekiyordu. Ancak biz $(1,3) \in R$ olmasına rağmen $(3,1) \notin R$ olduğunu bulduk. Bu durum, bağıntının simetrik olmadığı anlamına gelir.
Şimdi seçenekleri değerlendirelim:
- A) Simetriktir çünkü $(1,2)$ ve $(2,1)$ var. Bu doğru bir gözlem olsa da, bağıntının simetrik olduğunu söylemek için tüm eleman çiftlerini kontrol etmemiz gerekir. Sadece bu iki çiftin varlığı yeterli değildir.
- B) Simetrik değildir çünkü $(1,3)$ var ama $(3,1)$ yok. Bu ifade, bağıntının simetrik olmamasının nedenini (karşı örneği) doğru bir şekilde açıklamaktadır.
- C) Simetriktir çünkü tüm elemanlar var. Bu ifade, simetri tanımıyla ilgili değildir ve yanlıştır.
- D) Simetrik değildir çünkü $(2,1)$ var. $(2,1)$'in varlığı tek başına simetrik olmama nedeni değildir, çünkü onun tersi olan $(1,2)$ de mevcuttur.
Bu analizler sonucunda, bağıntının simetrik olmadığını ve bunun nedeninin $(1,3)$ elemanı varken $(3,1)$ elemanının olmaması olduğunu görüyoruz.
Cevap B seçeneğidir.
