Simetrik bir bağıntıda aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?
A) Bağıntı boş olamaz
B) Tüm elemanlar kendisiyle ilişkilidir
C) Her eleman en az bir elemanla ilişkilidir
D) İlişki çift yönlüdür
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, simetrik bir bağıntının temel özelliklerini anlamamız isteniyor. Bir bağıntının simetrik olması ne anlama gelir, gelin adım adım inceleyelim.
Öncelikle, bir bağıntının simetrik olması ne demektir, bunu hatırlayalım:
- Bir $R$ bağıntısı, bir $A$ kümesi üzerinde tanımlı olsun. Eğer $A$ kümesindeki her $a$ ve $b$ elemanı için, eğer $a$ elemanı $b$ elemanıyla ilişkiliyse (yani $(a, b) \in R$), o zaman $b$ elemanı da $a$ elemanıyla ilişkili olmak zorundadır (yani $(b, a) \in R$) koşulu sağlanıyorsa, bu bağıntıya simetrik bağıntı denir.
Şimdi seçenekleri bu tanım ışığında değerlendirelim:
- A) Bağıntı boş olamaz
- Bu ifade her zaman doğru değildir. Boş küme $\emptyset$ (hiçbir eleman içermeyen bağıntı) her zaman simetrik bir bağıntıdır. Çünkü "eğer $(a, b) \in \emptyset$" koşulu hiçbir zaman sağlanmaz, dolayısıyla tanımın geri kalanı (o zaman $(b, a) \in \emptyset$) otomatik olarak doğru kabul edilir (matematikte buna "boş doğru" denir). Bu nedenle, simetrik bir bağıntı boş olabilir.
- B) Tüm elemanlar kendisiyle ilişkilidir
- Bu ifade, bir bağıntının yansımalı (refleksif) olması durumunu açıklar. Simetrik bir bağıntının yansımalı olması zorunlu değildir. Örneğin, $A = \{1, 2\}$ kümesi üzerinde $R = \{(1, 2), (2, 1)\}$ bağıntısını düşünelim. Bu bağıntı simetriktir, çünkü $(1, 2) \in R$ ise $(2, 1) \in R$ ve $(2, 1) \in R$ ise $(1, 2) \in R$ koşulu sağlanır. Ancak, $1$ elemanı kendisiyle ilişkili değildir ($(1, 1) \notin R$) ve $2$ elemanı da kendisiyle ilişkili değildir ($(2, 2) \notin R$). Dolayısıyla bu ifade her zaman doğru değildir.
- C) Her eleman en az bir elemanla ilişkilidir
- Bu ifade de her zaman doğru değildir. Örneğin, $A = \{1, 2, 3\}$ kümesi üzerinde $R = \{(1, 2), (2, 1)\}$ bağıntısını düşünelim. Bu bağıntı simetriktir. Ancak, $3$ elemanı ne kendisiyle ne de başka bir elemanla ilişkilidir. Yani, $3$ elemanı hiçbir elemanla ilişkili değildir. Dolayısıyla bu ifade her zaman doğru değildir.
- D) İlişki çift yönlüdür
- Bu ifade, simetrik bağıntının tanımının tam karşılığıdır. Simetrik bir bağıntıda, eğer $a$ elemanı $b$ elemanıyla ilişkiliyse, o zaman $b$ elemanı da $a$ elemanıyla ilişkili olmak zorundadır. Bu durum, ilişkinin "iki yönlü" veya "karşılıklı" olduğunu gösterir. Yani, ilişki tek taraflı olamaz; her zaman çift yönlüdür. Bu ifade, simetrik bağıntının temel özelliğidir ve her zaman doğrudur.
Yukarıdaki açıklamalardan da anlaşılacağı gibi, simetrik bir bağıntının tanımı doğrudan ilişkinin çift yönlü olduğunu ifade eder.
Cevap D seçeneğidir.
