R = {(x,y) | x = y} bağıntısı için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Sadece yansıyan özelliği vardır
B) Sadece simetriktir
C) Hem simetrik hem yansıyandır
D) Hiçbiri
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, verilen bir bağıntının hangi özelliklere sahip olduğunu bulmamız isteniyor. Bağıntımız $R = \{(x,y) | x = y\}$ şeklinde tanımlanmış. Yani, bir $(x,y)$ sıralı ikilisinin bu bağıntıya ait olabilmesi için $x$ ve $y$ değerlerinin birbirine eşit olması gerekiyor. Şimdi bu bağıntının yansıma ve simetri özelliklerini adım adım inceleyelim.
-
1. Yansıma (Refleksif) Özelliği:
Bir bağıntının yansıyan olabilmesi için, kümedeki her eleman $x$ için $(x,x)$ ikilisinin bağıntıda bulunması gerekir. Yani, her eleman kendisiyle ilişkili olmalıdır.
- Bağıntımız $R = \{(x,y) | x = y\}$ olduğuna göre, $(x,x)$ ikilisinin $R$'de olup olmadığını kontrol edelim.
- $(x,x)$ ikilisinde $x=y$ koşulu sağlanır mı? Evet, çünkü $x=x$ her zaman doğrudur.
- Bu durumda, kümedeki her $x$ elemanı için $(x,x) \in R$ koşulu sağlanır.
- Dolayısıyla, $R$ bağıntısı yansıyandır.
-
2. Simetri (Simetrik) Özelliği:
Bir bağıntının simetrik olabilmesi için, eğer $(x,y)$ ikilisi bağıntıda bulunuyorsa, $(y,x)$ ikilisinin de bağıntıda bulunması gerekir.
- Varsayalım ki $(x,y) \in R$. Bağıntının tanımına göre bu, $x=y$ demektir.
- Şimdi $(y,x)$ ikilisinin $R$'de olup olmadığını kontrol edelim. $(y,x)$ ikilisinin $R$'de olması için $y=x$ koşulunun sağlanması gerekir.
- Biz $(x,y) \in R$ kabul ettiğimizde $x=y$ sonucuna ulaşmıştık. $x=y$ eşitliği aynı zamanda $y=x$ eşitliğini de ifade eder.
- Yani, $(x,y) \in R$ ise $x=y$ ve bu da $y=x$ olduğu için $(y,x) \in R$ olur.
- Dolayısıyla, $R$ bağıntısı simetriktir.
-
3. Seçeneklerin Değerlendirilmesi:
- A) Sadece yansıyan özelliği vardır: Yanlış, çünkü aynı zamanda simetriktir.
- B) Sadece simetriktir: Yanlış, çünkü aynı zamanda yansıyandır.
- C) Hem simetrik hem yansıyandır: Doğru, yaptığımız incelemeler sonucunda bağıntının hem yansıyan hem de simetrik olduğunu bulduk.
- D) Hiçbiri: Yanlış.
Cevap C seçeneğidir.
