f(x) fonksiyonundan f(|x|) grafiğini çizme Test 1

f(x) = sin(x) fonksiyonu için f(|x|) grafiği nasıl elde edilir?

A) Grafiğin sağ yarısı sol tarafa yansıtılır
B) Grafiğin sol yarısı sağ tarafa yansıtılır
C) Grafik aynı kalır
D) Grafik x eksenine göre simetrik hale getirilir

Merhaba sevgili öğrenciler!

$f(x)$ fonksiyonunun grafiğinden $f(|x|)$ fonksiyonunun grafiğini nasıl elde edeceğimizi adım adım inceleyelim. Bu dönüşüm, fonksiyonların grafikleri konusunda sıkça karşılaştığımız ve anlaması önemli bir konudur.

• Adım 1: $f(|x|)$ fonksiyonunun anlamını kavrayalım.

  Bir fonksiyonda $x$ yerine $|x|$ yazdığımızda, fonksiyonun girdisi (yani $x$ değeri) her zaman pozitif veya sıfır olarak kabul edilir. Çünkü mutlak değer, bir sayının sıfıra olan uzaklığını ifade eder ve bu uzaklık asla negatif olamaz.

• Adım 2: $x \ge 0$ durumu için grafiği inceleyelim.

  Eğer $x$ değeri sıfıra eşit veya sıfırdan büyükse ($x \ge 0$), o zaman $|x| = x$ olur. Bu durumda, $f(|x|) = f(x)$ eşitliği geçerlidir. Yani, orijinal $f(x)$ fonksiyonunun $x \ge 0$ olan kısmı (grafiğin $y$-ekseninin sağında kalan kısmı) $f(|x|)$ fonksiyonunun grafiği için aynen korunur ve değişmez.

• Adım 3: $x < 0$ durumu için grafiği inceleyelim.

  Eğer $x$ değeri sıfırdan küçükse ($x < 0$), o zaman $|x| = -x$ olur. Bu durumda, $f(|x|) = f(-x)$ eşitliği geçerlidir. Bu ne anlama geliyor?

  • Örneğin, $x = -2$ için $f(|-2|) = f(2)$ değerini alırız.
  • $x = -5$ için $f(|-5|) = f(5)$ değerini alırız.

  Bu durum, $y$-ekseninin sol tarafındaki (negatif $x$ değerleri için) fonksiyon değerlerinin, $y$-ekseninin sağ tarafındaki (pozitif $x$ değerleri için) karşılık gelen değerlerle aynı olacağı anlamına gelir. Grafiksel olarak bu, $f(x)$ fonksiyonunun $x < 0$ olan kısmının tamamen göz ardı edildiği ve yerine $x \ge 0$ olan kısmının $y$-eksenine göre yansıtılarak oluşturulduğu anlamına gelir.

• Adım 4: Dönüşümün genel kuralını özetleyelim.

  $f(|x|)$ fonksiyonunun grafiğini elde etmek için, $f(x)$ fonksiyonunun $y$-ekseninin sağında kalan kısmını ($x \ge 0$ olan kısmını) alırız. Daha sonra bu kısmı $y$-eksenine göre yansıtarak $y$-ekseninin solunda kalan kısmı ($x < 0$ olan kısmı) oluştururuz. Orijinal $f(x)$ grafiğinin $x < 0$ olan kısmı tamamen silinir ve yerine sağ tarafın yansıması gelir.

• Adım 5: $f(x) = \sin(x)$ fonksiyonuna uygulayalım.

  Şimdi bu kuralı $f(x) = \sin(x)$ fonksiyonu için uygulayalım:

  • $x \ge 0$ için: $f(|x|) = \sin(|x|) = \sin(x)$. Bu kısım orijinal $\sin(x)$ grafiğiyle aynı kalır.
  • $x < 0$ için: $f(|x|) = \sin(|x|)$. Örneğin, $x = -\pi/2$ için $f(|-\pi/2|) = \sin(\pi/2) = 1$ olur. Orijinal $\sin(-\pi/2) = -1$ idi. Görüldüğü gibi, $x = -\pi/2$ noktasındaki yeni değer, $x = \pi/2$ noktasındaki orijinal değerle aynıdır. Bu da grafiğin sağ yarısının sol tarafa yansıtıldığını doğrular.
• Adım 6: Seçenekleri değerlendirelim.
  • A) Grafiğin sağ yarısı sol tarafa yansıtılır: Bu ifade, yukarıda açıkladığımız dönüşümle birebir örtüşmektedir. $x \ge 0$ kısmını (sağ yarısı) alırız ve bunu $y$-eksenine göre yansıtarak $x < 0$ kısmını (sol yarısı) oluştururuz.
  • B) Grafiğin sol yarısı sağ tarafa yansıtılır: Bu yanlıştır. Orijinal grafiğin sol yarısı tamamen göz ardı edilir.
  • C) Grafik aynı kalır: Bu yanlıştır. Grafik ancak $f(x)$ bir çift fonksiyon olsaydı (yani $f(x) = f(-x)$ olsaydı) aynı kalırdı. $\sin(x)$ bir tek fonksiyondur ($ \sin(-x) = -\sin(x)$).
  • D) Grafik x eksenine göre simetrik hale getirilir: Bu yanlıştır. Bu dönüşüm $-f(x)$ fonksiyonu için geçerlidir.

Bu adımları takip ettiğimizde, $f(|x|)$ grafiğini elde etmek için $f(x)$ grafiğinin sağ yarısının (yani $x \ge 0$ olan kısmının) $y$-eksenine göre yansıtılarak sol yarının oluşturulduğunu açıkça görürüz.

Cevap A seçeneğidir.