f(x) = |x| fonksiyonunun x = 0 noktası için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Kritik nokta değildir
B) Kritik noktadır ve minimum noktasıdır
C) Kritik noktadır ve maksimum noktasıdır
D) Kritik noktadır ama ekstremum noktası değildir
Bu soruda, $f(x) = |x|$ fonksiyonunun $x = 0$ noktasındaki davranışını inceleyeceğiz. Bir noktanın kritik nokta olup olmadığını ve ekstremum (minimum veya maksimum) nokta olup olmadığını anlamak için türev kavramını ve fonksiyonun grafiğini kullanabiliriz.
- Adım 1: Kritik Nokta Tanımı
- Bir $f(x)$ fonksiyonu için bir $x=c$ noktası, eğer $f'(c) = 0$ ise veya $f'(c)$ tanımsız ise kritik nokta olarak adlandırılır. Kritik noktalar, bir fonksiyonun yerel ekstremum (minimum veya maksimum) değerlere sahip olabileceği aday noktalardır.
- Adım 2: $f(x) = |x|$ Fonksiyonunun Türevini İnceleme
- $f(x) = |x|$ fonksiyonunu parçalı fonksiyon olarak yazabiliriz:
- $f(x) = x$, eğer $x > 0$ ise
- $f(x) = -x$, eğer $x < 0$ ise
- $f(x) = 0$, eğer $x = 0$ ise
- Şimdi türevini alalım:
- $x > 0$ için $f'(x) = \frac{d}{dx}(x) = 1$.
- $x < 0$ için $f'(x) = \frac{d}{dx}(-x) = -1$.
- $x = 0$ noktasında türevi inceleyelim. $x=0$ noktasında fonksiyonun grafiği keskin bir köşe (kırılma) yapar. Sol türev ($x \to 0^-$ için) $-1$ iken, sağ türev ($x \to 0^+$ için) $1$'dir. Sol ve sağ türevler eşit olmadığı için $f'(0)$ tanımsızdır.
- Adım 3: $x=0$ Noktasının Kritik Nokta Olup Olmadığı
- Türev tanımına göre, $f'(0)$ tanımsız olduğu için $x=0$ noktası bir kritik noktadır. Bu durum, A seçeneği ("Kritik nokta değildir") ifadesinin yanlış olduğunu gösterir.
- Adım 4: $x=0$ Noktasının Ekstremum Nokta Olup Olmadığı
- Ekstremum noktalar, fonksiyonun yerel minimum veya yerel maksimum değerlerini aldığı noktalardır. $f(x) = |x|$ fonksiyonunun grafiğini düşünelim. Bu fonksiyonun grafiği, $x=0$ noktasında bir "V" şekli oluşturur ve tepe noktası $(0,0)$'dır.
- Fonksiyonun değerlerini inceleyelim:
- $f(0) = |0| = 0$.
- $x \neq 0$ için $f(x) = |x| > 0$ (örneğin, $f(1) = |1| = 1$, $f(-1) = |-1| = 1$).
- Görüldüğü gibi, fonksiyonun $x=0$ noktasındaki değeri ($0$), diğer tüm noktalardaki değerlerinden daha küçüktür. Bu durum, $x=0$ noktasının bir yerel minimum (ve aynı zamanda genel minimum) noktası olduğunu gösterir.
- Adım 5: Seçenekleri Değerlendirme
- $x=0$ bir kritik noktadır ve aynı zamanda bir minimum noktasıdır. Bu durumda B seçeneği ("Kritik noktadır ve minimum noktasıdır") doğru cevaptır.
- C seçeneği ("Kritik noktadır ve maksimum noktasıdır") yanlıştır çünkü $x=0$ bir minimum noktasıdır.
- D seçeneği ("Kritik noktadır ama ekstremum noktası değildir") yanlıştır çünkü $x=0$ bir ekstremum (minimum) noktasıdır.
Cevap B seçeneğidir.
