Kritik nokta nedir (Limit) Test 1

f(x) = 1/x fonksiyonunun kritik noktası var mıdır?

A) Evet, x = 0
B) Evet, x = 1
C) Hayır, hiç kritik noktası yoktur
D) Evet, x = -1

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, bir fonksiyonun kritik noktalarını nasıl bulacağımızı ve verilen $f(x) = \frac{1}{x}$ fonksiyonu için bu kavramı nasıl uygulayacağımızı öğreneceğiz. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Kritik Nokta Tanımı:

  Bir fonksiyonun kritik noktaları, o fonksiyonun türevinin sıfır olduğu veya türevinin tanımsız olduğu noktalardır. Ancak çok önemli bir kural var: Bu noktaların aynı zamanda fonksiyonun kendi tanım kümesinde (domain) olması gerekir.

• 2. Fonksiyonun Tanım Kümesini Belirleme:

  Öncelikle, $f(x) = \frac{1}{x}$ fonksiyonunun hangi $x$ değerleri için tanımlı olduğunu bulalım. Bir kesrin paydası sıfır olamayacağı için, $x \neq 0$ olmalıdır. Yani, fonksiyonun tanım kümesi tüm reel sayılar kümesinden $0$ noktasının çıkarılmasıyla elde edilir. Kısacası, $x=0$ zaten fonksiyonun tanım kümesinde değildir.

• 3. Fonksiyonun Türevini Bulma:

  Şimdi, $f(x) = \frac{1}{x}$ fonksiyonunun türevini alalım. Fonksiyonu $f(x) = x^{-1}$ olarak yazabiliriz. Türev alma kuralını uygulayarak:

  $f'(x) = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

  olur.

• 4. Türevin Sıfır Olduğu Noktaları Araştırma:

  Kritik nokta bulmak için ilk olarak türevi sıfıra eşitleyelim:

  $f'(x) = -\frac{1}{x^2} = 0$

  Bu denklemin bir çözümü yoktur. Çünkü bir kesrin sıfır olması için payının sıfır olması gerekir, ancak payımız $-1$'dir. Dolayısıyla, türevin sıfır olduğu hiçbir $x$ değeri yoktur.

• 5. Türevin Tanımsız Olduğu Noktaları Araştırma:

  İkinci olarak, türevin tanımsız olduğu noktaları bulalım. $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ ifadesi, paydası sıfır olduğunda tanımsız olur. Yani $x^2 = 0$ olduğunda, bu da $x=0$ demektir.

• 6. Kritik Nokta Koşulunu Uygulama:

  Türevin tanımsız olduğu bir nokta bulduk: $x=0$. Ancak kritik nokta tanımına göre, bu noktanın aynı zamanda orijinal fonksiyonun tanım kümesinde olması gerekir.

  Daha önce belirttiğimiz gibi, $f(x) = \frac{1}{x}$ fonksiyonu $x=0$ noktasında tanımlı değildir. Bu nedenle, $x=0$ bir kritik nokta olarak kabul edilemez.

• 7. Sonuç:

  Türevin sıfır olduğu hiçbir nokta bulamadık ve türevin tanımsız olduğu nokta ($x=0$) fonksiyonun tanım kümesinde olmadığı için kritik nokta olarak kabul edilemez. Bu durumda, $f(x) = \frac{1}{x}$ fonksiyonunun hiçbir kritik noktası yoktur.

Cevap C seçeneğidir.