9. Sınıf Eşit Kümeler Nedir? Test 1

A = {x | -2 < x < 3, x ∈ Z} ve B = {y | y² < 9, y ∈ Z} kümeleri veriliyor. Bu kümeler için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) A ⊂ B
B) B ⊂ A
C) A = B
D) A ∩ B = ∅

Bu soruda, verilen iki kümenin elemanlarını belirleyip aralarındaki ilişkiyi bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:

• 1. A kümesinin elemanlarını belirleyelim:

A kümesi, $A = \{x \mid -2 < x < 3, x \in Z\}$ şeklinde tanımlanmıştır. Bu ifade, $x$'in $-2$'den büyük ve $3$'ten küçük bir tam sayı olması gerektiğini belirtir.

$-2$'den büyük tam sayılar: $-1, 0, 1, 2, 3, \dots$

$3$'ten küçük tam sayılar: $\dots, -1, 0, 1, 2$

Her iki koşulu da sağlayan tam sayılar, yani $-2$ ile $3$ arasındaki tam sayılar şunlardır: $-1, 0, 1, 2$.

O halde, $A = \{-1, 0, 1, 2\}$.

• 2. B kümesinin elemanlarını belirleyelim:

B kümesi, $B = \{y \mid y^2 < 9, y \in Z\}$ şeklinde tanımlanmıştır. Bu ifade, $y$'nin karesi $9$'dan küçük olan bir tam sayı olması gerektiğini belirtir.

$y^2 < 9$ eşitsizliğini sağlayan tam sayıları bulmak için farklı tam sayı değerlerini deneyelim:

Eğer $y = 0$ ise, $0^2 = 0 < 9$ (doğru).

Eğer $y = 1$ ise, $1^2 = 1 < 9$ (doğru).

Eğer $y = -1$ ise, $(-1)^2 = 1 < 9$ (doğru).

Eğer $y = 2$ ise, $2^2 = 4 < 9$ (doğru).

Eğer $y = -2$ ise, $(-2)^2 = 4 < 9$ (doğru).

Eğer $y = 3$ ise, $3^2 = 9$. $9 < 9$ ifadesi doğru değildir.

Eğer $y = -3$ ise, $(-3)^2 = 9$. $9 < 9$ ifadesi doğru değildir.

Bu durumda, $y^2 < 9$ koşulunu sağlayan tam sayılar: $-2, -1, 0, 1, 2$.

O halde, $B = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$.

• 3. A ve B kümelerini karşılaştıralım:

Bulduğumuz kümeler şunlardır:

$A = \{-1, 0, 1, 2\}$

$B = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$

Bu iki kümeyi dikkatlice incelediğimizde, A kümesinin tüm elemanlarının ($-1, 0, 1, 2$) B kümesinde de bulunduğunu görüyoruz. Ancak B kümesindeki $-2$ elemanı A kümesinde bulunmamaktadır.

Bu durum, A kümesinin B kümesinin bir alt kümesi olduğu ($A \subset B$) anlamına gelir. Ancak A ve B kümeleri birebir aynı elemanlara sahip olmadıkları için birbirlerine eşit değillerdir ($A \ne B$).

• 4. Seçenekleri değerlendirelim:

A) $A \subset B$: A kümesinin her elemanı B kümesinde olduğu için bu ifade doğrudur.

B) $B \subset A$: B kümesindeki $-2$ elemanı A kümesinde olmadığı için bu ifade yanlıştır.

C) $A = B$: A ve B kümeleri aynı elemanlara sahip olmadığı için bu ifade yanlıştır.

D) $A \cap B = \emptyset$: A ve B kümelerinin ortak elemanları ($-1, 0, 1, 2$) olduğu için kesişimleri boş küme değildir. Bu ifade yanlıştır.

Cevap C seçeneğidir.