9. Sınıf İstatistik Değişebilirlik Nedir? Test 1

Bir fabrikada üretilen 100 ampulün ömürleri (saat) ölçülmüş ve bu verilerin standart sapması hesaplanmıştır. Daha sonra tüm ölçüm değerleri 50 saat eklenerek yeniden kaydedilmiştir. Yeni veri setinin standart sapması için ne söylenebilir?

A) 50 artar
B) 50 azalır
C) Değişmez
D) 2500 artar

Bu soruyu çözmek için standart sapmanın ne anlama geldiğini ve veri setine sabit bir değer eklemenin bu ölçütü nasıl etkilediğini anlamamız gerekiyor. Adım adım ilerleyelim:

• Standart Sapma Neyi Ölçer?
• Standart sapma, bir veri setindeki değerlerin ortalamadan ne kadar uzaklaştığını, yani verilerin ne kadar dağınık olduğunu gösteren bir ölçüdür. Başka bir deyişle, veri noktalarının birbirine ve ortalamaya göre yayılımını ifade eder. Standart sapma, verilerin merkezden ne kadar saptığını gösterir.
• Veri Setine Sabit Bir Değer Eklemenin Etkisi:
• Bir veri setindeki her bir değere (örneğin, her ampulün ömrüne) sabit bir sayı (bu durumda 50 saat) eklediğimizde, tüm veri setini sayı doğrusu üzerinde sağa doğru kaydırmış oluruz.
• Bu kaydırma işlemi, veri setinin ortalamasını da aynı miktarda (50 saat) artırır. Yani, yeni ortalama ($\bar{x}_{yeni}$), eski ortalamanın ($\bar{x}_{eski}$) 50 fazlası olur: $\bar{x}_{yeni} = \bar{x}_{eski} + 50$.
• Ancak, veri noktalarının birbirine göre konumları veya her bir veri noktasının kendi yeni ortalamasına olan uzaklığı değişmez. Örneğin, iki ampulün ömrü arasındaki fark (örneğin, 100 saat ve 120 saat arasındaki 20 saat fark), her ikisine de 50 saat eklediğimizde (150 saat ve 170 saat arasındaki 20 saat fark) yine aynı kalır. Veri setinin "şekli" veya "yayılımı" değişmez, sadece konumu değişir.
• Matematiksel İfadeyle Açıklama:
• Standart sapma formülünü hatırlayalım. Standart sapma, her bir veri noktasının ($x_i$) ortalamadan ($\bar{x}$) farklarının karelerinin toplamının ortalamasının kareköküdür. Yani, formülün içinde $(x_i - \bar{x})$ terimi bulunur.
• Eğer her $x_i$ değerine bir sabit $c$ eklersek, yeni veri noktalarımız $x_i' = x_i + c$ olur. Yeni ortalama da $\bar{x}' = \bar{x} + c$ olur.
• Şimdi, yeni veri noktası ile yeni ortalama arasındaki farka bakalım: $(x_i' - \bar{x}') = (x_i + c) - (\bar{x} + c)$.
• Bu ifadeyi sadeleştirdiğimizde: $x_i + c - \bar{x} - c = x_i - \bar{x}$.
• Gördüğümüz gibi, her bir veri noktasının ortalamadan farkı, sabit bir değer eklediğimizde değişmez. Bu farklar değişmediği için, bu farkların kareleri toplamı, varyans (standart sapmanın karesi) ve dolayısıyla standart sapmanın kendisi de değişmez.
• Sonuç:
• Veri setindeki tüm değerlere sabit bir sayı eklemek veya çıkarmak, veri setinin yayılımını (dağılımını) değiştirmez. Bu nedenle, standart sapma da değişmez.

Cevap C seçeneğidir.