$$\frac{2}{\sqrt{7}-2} - \frac{2}{\sqrt{7}+2}$$ işleminin sonucu kaçtır?
A) $$\frac{4}{3}$$Merhaba sevgili öğrenciler, bu tür köklü ifadelerde paydaları rasyonel yapmak için eşlenik kavramını kullanmak en etkili yöntemdir. Adım adım ilerleyelim:
Verilen ifade iki kesrin farkı şeklindedir: $ \frac{2}{\sqrt{7}-2} - \frac{2}{\sqrt{7}+2} $. Her bir kesri ayrı ayrı inceleyelim ve paydalarını rasyonel hale getirelim.
Birinci kesir için: $ \frac{2}{\sqrt{7}-2} $
Paydadaki $ \sqrt{7}-2 $ ifadesinin eşleniği $ \sqrt{7}+2 $ 'dir. Kesri bu ifade ile hem payını hem de paydasını çarparak genişletelim:
$ \frac{2}{\sqrt{7}-2} \times \frac{\sqrt{7}+2}{\sqrt{7}+2} $
Paydayı çarptığımızda $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ özdeşliğini kullanırız:
$ (\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2) = (\sqrt{7})^2 - (2)^2 = 7 - 4 = 3 $
Payı çarptığımızda:
$ 2(\sqrt{7}+2) = 2\sqrt{7}+4 $
Böylece birinci kesrin sadeleşmiş hali:
$ \frac{2\sqrt{7}+4}{3} $ olur.
İkinci kesir için: $ \frac{2}{\sqrt{7}+2} $
Paydadaki $ \sqrt{7}+2 $ ifadesinin eşleniği $ \sqrt{7}-2 $ 'dir. Kesri bu ifade ile hem payını hem de paydasını çarparak genişletelim:
$ \frac{2}{\sqrt{7}+2} \times \frac{\sqrt{7}-2}{\sqrt{7}-2} $
Paydayı çarptığımızda yine $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$ özdeşliğini kullanırız:
$ (\sqrt{7}+2)(\sqrt{7}-2) = (\sqrt{7})^2 - (2)^2 = 7 - 4 = 3 $
Payı çarptığımızda:
$ 2(\sqrt{7}-2) = 2\sqrt{7}-4 $
Böylece ikinci kesrin sadeleşmiş hali:
$ \frac{2\sqrt{7}-4}{3} $ olur.
Şimdi bu iki sadeleşmiş kesri birbirinden çıkaralım:
$ \frac{2\sqrt{7}+4}{3} - \frac{2\sqrt{7}-4}{3} $
Paydalar eşit olduğu için payları çıkarabiliriz. Çıkarma işleminde ikinci kesrin tüm terimlerinin işaret değiştireceğine dikkat edelim:
$ \frac{(2\sqrt{7}+4) - (2\sqrt{7}-4)}{3} $
$ \frac{2\sqrt{7}+4 - 2\sqrt{7} + 4}{3} $
Paydaki benzer terimleri toplayalım:
$ 2\sqrt{7} - 2\sqrt{7} = 0 $
$ 4 + 4 = 8 $
Böylece pay $ 8 $ olur.
Sonuç olarak işlemin sonucu:
$ \frac{8}{3} $
Cevap B seçeneğidir.
