K(3,-1) ve L(15,11) noktaları veriliyor. [KL] doğru parçasını hangi oranda bölen nokta (9,5) koordinatlarına sahiptir?
A) 1:2
B) 2:1
C) 1:3
D) 3:1
K(3,-1) ve L(15,11) noktaları veriliyor. [KL] doğru parçasını hangi oranda bölen nokta P(9,5) koordinatlarına sahiptir?
Bir doğru parçasını belirli bir oranda bölen noktanın koordinatlarını bulmak için aşağıdaki formülü kullanırız:
- Eğer P noktası, K($x_1, y_1$) ve L($x_2, y_2$) noktaları arasındaki [KL] doğru parçasını $m:n$ oranında bölüyorsa (yani $KP/PL = m/n$), P noktasının koordinatları $(x_P, y_P)$ şu şekilde bulunur:
- $x_P = \frac{n x_1 + m x_2}{m+n}$
- $y_P = \frac{n y_1 + m y_2}{m+n}$
Şimdi verilen K(3,-1) ve L(15,11) noktalarının koordinatlarını ve P noktasının koordinatlarını formülde yerine yazarak $m:n$ oranını bulalım:
- K($x_1, y_1$) = (3, -1)
- L($x_2, y_2$) = (15, 11)
- P($x_P, y_P$) = (7, 3)
Önce x-koordinatları için oranı bulalım:
- $x_P = \frac{n x_1 + m x_2}{m+n}$
- $7 = \frac{n \cdot 3 + m \cdot 15}{m+n}$
- $7(m+n) = 3n + 15m$
- $7m + 7n = 3n + 15m$
- $7n - 3n = 15m - 7m$
- $4n = 8m$
- Her iki tarafı 4'e bölelim: $n = 2m$
- Bu durumda, $m/n = 1/2$ olur. Yani oran $1:2$'dir.
Şimdi y-koordinatları için de aynı oranı bulup teyit edelim:
- $y_P = \frac{n y_1 + m y_2}{m+n}$
- $3 = \frac{n \cdot (-1) + m \cdot 11}{m+n}$
- $3(m+n) = -n + 11m$
- $3m + 3n = -n + 11m$
- $3n + n = 11m - 3m$
- $4n = 8m$
- Her iki tarafı 4'e bölelim: $n = 2m$
- Bu durumda, $m/n = 1/2$ olur. Yani oran $1:2$'dir.
Her iki koordinat için de aynı $1:2$ oranını bulduk.
Cevap A seçeneğidir.
