Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, aralarında asal sayıların EKOK (En Küçük Ortak Kat) özelliği ile ilgili önemli bir bilgiyi kullanarak sayı çiftlerinin EKOK'larını bulacağız. Öncelikle, bu önemli bilgiyi hatırlayalım:
- Aralarında Asal Sayılar ve EKOK İlişkisi: İki sayının 1'den başka ortak böleni yoksa, bu sayılara "aralarında asal sayılar" denir. Aralarında asal olan iki sayının EKOK'u, bu sayıların çarpımına eşittir. Yani, eğer $a$ ve $b$ aralarında asal ise, EKOK$(a, b) = a \times b$ olur. Eğer sayılar aralarında asal değilse, EKOK'u bulmak için farklı yöntemler (asal çarpanlara ayırma veya EBOB kullanarak) kullanırız.
Şimdi her bir sayı çiftini inceleyelim ve EKOK'larını bulalım:
- A) 7 ve 12
- 7'nin bölenleri: 1, 7
- 12'nin bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12
- Ortak bölenleri sadece 1'dir. Bu yüzden 7 ve 12 sayıları aralarında asaldır.
- EKOK$(7, 12) = 7 \times 12 = 84$.
- B) 15 ve 16
- 15'in asal çarpanları: $3 \times 5$
- 16'nın asal çarpanları: $2^4$
- Ortak asal çarpanları yoktur. Dolayısıyla ortak bölenleri sadece 1'dir. Bu yüzden 15 ve 16 sayıları aralarında asaldır. (Ardışık sayılar her zaman aralarında asaldır.)
- EKOK$(15, 16) = 15 \times 16 = 240$.
- C) 8 ve 25
- 8'in asal çarpanları: $2^3$
- 25'in asal çarpanları: $5^2$
- Ortak asal çarpanları yoktur. Dolayısıyla ortak bölenleri sadece 1'dir. Bu yüzden 8 ve 25 sayıları aralarında asaldır.
- EKOK$(8, 25) = 8 \times 25 = 200$.
- D) 9 ve 24
- 9'un asal çarpanları: $3^2$
- 24'ün asal çarpanları: $2^3 \times 3$
- Bu iki sayının ortak böleni 1 dışında 3 de vardır. Bu yüzden 9 ve 24 sayıları aralarında asal değildir.
- Aralarında asal olmadıkları için EKOK'larını bulmak için sayıları çarpmayız. Bunun yerine asal çarpanlarına ayırma yöntemini kullanırız:
- $9 = 3^2$
- $24 = 2^3 \times 3^1$
- EKOK, her asal çarpanın en büyük üslüsünün çarpımıdır: EKOK$(9, 24) = 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72$.
- Alternatif olarak, EBOB kullanarak da bulabiliriz: EBOB$(9, 24) = 3$. EKOK$(9, 24) = (9 \times 24) / \text{EBOB}(9, 24) = 216 / 3 = 72$.
Şimdi bulduğumuz EKOK değerlerini karşılaştıralım:
- A) EKOK$(7, 12) = 84$
- B) EKOK$(15, 16) = 240$
- C) EKOK$(8, 25) = 200$
- D) EKOK$(9, 24) = 72$
Gördüğümüz gibi, D seçeneğindeki sayı çiftinin EKOK'u (72), diğer seçeneklerdeki EKOK değerlerinden farklıdır. Bunun nedeni, 9 ve 24 sayılarının aralarında asal olmamasıdır. Diğer seçeneklerdeki sayılar aralarında asal olduğu için EKOK'ları sayıların çarpımına eşit olmuştur.
Cevap D seçeneğidir.
