Bir marangoz elindeki 48 cm ve 60 cm uzunluğundaki tahta parçalarını eşit uzunlukta, hiç artmayacak şekilde parçalara ayırmak istiyor. Kesilecek parçaların uzunluğu santimetre cinsinden bir tam sayı olduğuna göre, en az kaç parça elde edilir?
A) 6
B) 9
C) 12
D) 15
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problemde, elimizdeki farklı uzunluktaki tahta parçalarını eşit uzunlukta ve hiç artmayacak şekilde kesmek istiyoruz. Ayrıca, elde edeceğimiz parça sayısının en az olmasını hedefliyoruz. Gelin, bu problemi adım adım nasıl çözeceğimizi birlikte inceleyelim:
- Adım 1: Ne Aradığımızı Anlayalım
- Marangoz, 48 cm ve 60 cm uzunluğundaki tahtaları eşit uzunlukta parçalara ayırmak istiyor. Bu, keseceği her bir parçanın uzunluğunun hem 48'in hem de 60'ın bir böleni olması gerektiği anlamına gelir. Yani, ortak bir bölen bulmalıyız.
- Ayrıca, "en az kaç parça elde edilir?" diye soruluyor. Toplam parça sayısının en az olması için, her bir parçanın uzunluğunun olabilecek en büyük değeri alması gerekir. Bu da bizi En Büyük Ortak Bölen (EBOB) kavramına götürür.
- Adım 2: 48 ve 60 Sayılarının EBOB'unu Bulalım
- EBOB'u bulmak için farklı yöntemler kullanabiliriz. En yaygın yöntemlerden biri asal çarpanlara ayırma yöntemidir:
- Önce 48'i asal çarpanlarına ayıralım:
- $48 = 2 \times 24 = 2 \times 2 \times 12 = 2 \times 2 \times 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^4 \times 3^1$
- Şimdi de 60'ı asal çarpanlarına ayıralım:
- $60 = 2 \times 30 = 2 \times 2 \times 15 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1$
- EBOB'u bulmak için, her iki sayının asal çarpanları arasında ortak olanların en küçük üslülerini alırız:
- Ortak asal çarpanlar $2$ ve $3$'tür.
- $2$'nin en küçük üssü $2^2$'dir (çünkü $2^4$ ve $2^2$ arasında $2^2$ daha küçüktür).
- $3$'ün en küçük üssü $3^1$'dir (çünkü her ikisinde de $3^1$ vardır).
- O halde, EBOB$(48, 60) = 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12$.
- Bu durumda, kesilecek her bir parçanın uzunluğu 12 cm olmalıdır.
- Adım 3: Her Bir Tahta Parçasından Kaç Adet Elde Edildiğini Hesaplayalım
- 48 cm uzunluğundaki tahta parçasından elde edilecek parça sayısı:
- $48 \text{ cm} \div 12 \text{ cm/parça} = 4 \text{ parça}$
- 60 cm uzunluğundaki tahta parçasından elde edilecek parça sayısı:
- $60 \text{ cm} \div 12 \text{ cm/parça} = 5 \text{ parça}$
- Adım 4: Toplam Parça Sayısını Bulalım
- Toplamda elde edilecek parça sayısı, iki tahta parçasından elde edilen parça sayılarının toplamıdır:
- $4 \text{ parça} + 5 \text{ parça} = 9 \text{ parça}$
Böylece, marangoz en az 9 parça elde edebilir.
Cevap B seçeneğidir.
