A = {x | 1 ≤ x ≤ 20, x ∈ N} kümesinin elemanlarından 3'ün katı olanlar A kümesi, 5'in katı olanlar B kümesi olarak tanımlanıyor. Buna göre A ∪ B kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 8Bu problemde, belirli bir aralıktaki doğal sayılar kümesi içinde 3'ün ve 5'in katı olan sayıları bulup, bu iki kümenin birleşiminin eleman sayısını hesaplayacağız. Küme problemlerinde elemanları doğru bir şekilde belirlemek ve formülleri dikkatlice uygulamak çok önemlidir. Adım adım ilerleyelim:
Soruda verilen ana küme $A = \{x | 1 \leq x \leq 20, x \in N\}$ şeklindedir. Bu, 1'den 20'ye kadar olan doğal sayılar kümesi demektir:
$A = \{1, 2, 3, ..., 19, 20\}$
Bu küme, ana küme içindeki 3'ün katı olan sayılardan oluşur. Bu sayıları listeleyelim:
$A = \{3, 6, 9, 12, 15, 18\}$
Bu kümenin eleman sayısı $|A|$ ise 6'dır.
Bu küme, ana küme içindeki 5'in katı olan sayılardan oluşur. Bu sayıları listeleyelim:
$B = \{5, 10, 15, 20\}$
Bu kümenin eleman sayısı $|B|$ ise 4'tür.
Bu küme, hem 3'ün hem de 5'in katı olan sayılardan oluşur. Yani, 3 ve 5'in en küçük ortak katı olan 15'in katlarıdır. Bu sayıları listeleyelim:
$A \cap B = \{15\}$
Bu kümenin eleman sayısı $|A \cap B|$ ise 1'dir.
İki kümenin birleşiminin eleman sayısını bulmak için şu formülü kullanırız:
$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$
Şimdi bulduğumuz değerleri bu formülde yerine yazalım:
$|A \cup B| = 6 + 4 - 1$
$|A \cup B| = 10 - 1$
$|A \cup B| = 9$
Bu sonuca göre, A $\cup$ B kümesinin eleman sayısı 9'dur.
Cevap C seçeneğidir.
