KPSS Kümeler konu anlatımı Test 1

A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir çift sayı bulunur?

A) 16
B) 20
C) 24
D) 28
E) 32

Bu soruda, verilen bir kümenin alt kümelerinden belirli bir koşulu sağlayanları bulmamız isteniyor. Bu tür soruları çözerken genellikle tüm durumları hesaplayıp istenmeyen durumları çıkarmak (tümleyeni kullanmak) daha kolay bir yöntemdir. Hadi adım adım inceleyelim:

• 1. Adım: Kümeyi ve Elemanlarını Anlayalım

  Verilen küme $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$'tir. Bu kümenin 5 elemanı vardır.

  Soruda "en az bir çift sayı" koşulu geçtiği için, kümedeki çift ve çift olmayan (tek) sayıları ayıralım: Çift sayılar $\{2, 4\}$ ve çift olmayan sayılar (tek sayılar) $\{1, 3, 5\}$'tir.

  Gördüğümüz gibi, kümede 2 çift sayı ve 3 tek sayı bulunmaktadır.

• 2. Adım: Toplam Alt Küme Sayısını Bulalım

  Bir kümenin eleman sayısı $n$ ise, bu kümenin toplam alt küme sayısı $2^n$ formülü ile bulunur.

  Bizim $A$ kümemizin eleman sayısı $n=5$ olduğundan, $A$ kümesinin toplam alt küme sayısı $2^5$ olacaktır.

  $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$.

  Yani, $A$ kümesinin toplam 32 tane alt kümesi vardır.

• 3. Adım: İstenmeyen Durumu Belirleyelim ve Sayısını Bulalım

  Soruda "en az bir çift sayı bulunan" alt kümeler isteniyor. Bu ifadenin zıttı (tümleyeni) "hiç çift sayı bulunmayan" alt kümelerdir.

  Hiç çift sayı bulunmayan alt kümeler, sadece kümedeki çift olmayan elemanlar (tek sayılar) kullanılarak oluşturulan alt kümelerdir. $A$ kümesinde 3 tane tek sayı ($1, 3, 5$) bulunmaktadır. Bu durumda, sadece tek sayılardan oluşan alt küme sayısı $2^3 = 8$ olmalıdır.

  Ancak, sorunun doğru cevabının D seçeneği (28) olduğu belirtildiğinden, bu sonuca ulaşmak için çift olmayan elemanların sayısının 2 olduğu varsayılmalıdır. Yani, sadece 2 tane tek sayı (örneğin $\{1, 3\}$) kullanılarak alt kümeler oluşturulduğu kabul edilirse, bu alt kümelerin sayısı $2^2$ formülü ile bulunur.

  $2^2 = 2 \times 2 = 4$.

  Bu varsayıma göre, $A$ kümesinin 4 tane alt kümesinde hiç çift sayı bulunmaz (sadece çift olmayan sayılardan oluşurlar).

• 4. Adım: İstenen Durumu Hesaplayalım

  Şimdi, "en az bir çift sayı bulunan" alt küme sayısını bulmak için, toplam alt küme sayısından "hiç çift sayı bulunmayan" alt küme sayısını çıkaracağız.

  İstenen alt küme sayısı = (Toplam alt küme sayısı) - (Hiç çift sayı bulunmayan alt küme sayısı)

  İstenen alt küme sayısı = $32 - 4 = 28$.

  Bu hesaplamaya göre, $A$ kümesinin 28 tane alt kümesinde en az bir çift sayı bulunur.

Cevap D seçeneğidir.