KPSS Kümeler konu anlatımı Test 1

A = {a, b, c, d, e} kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a elemanı bulunur?

A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, belirli bir elemanı içeren alt küme sayısını nasıl bulacağımızı adım adım inceleyeceğiz. Haydi başlayalım!

• Soruyu Anlayalım: Bize $A = \{a, b, c, d, e\}$ kümesi verilmiş ve bizden bu kümenin 3 elemanlı alt kümelerinden kaç tanesinde 'a' elemanının bulunduğunu bulmamız isteniyor.
• 'a' Elemanını Sabitleyelim: İstediğimiz alt kümelerin hepsinde 'a' elemanı bulunmak zorunda. Bu yüzden, 3 elemanlı alt kümemizin bir elemanını şimdiden 'a' olarak belirleyebiliriz. Yani, alt kümemiz şimdilik $\{a, \_, \_ \}$ şeklinde olacak.
• Geriye Kalan Elemanları Belirleyelim: Alt kümemiz 3 elemanlı olacaktı ve biz bir elemanı ('a') zaten seçtik. Geriye alt kümemiz için seçmemiz gereken $3 - 1 = 2$ eleman kaldı.
• Seçim Yapacağımız Kümeyi Belirleyelim: 'a' elemanını zaten seçtiğimiz için, kalan 2 elemanı $A$ kümesinin 'a' dışındaki elemanları arasından seçmeliyiz. $A$ kümesinden 'a' elemanını çıkardığımızda geriye $A' = \{b, c, d, e\}$ kümesi kalır. Bu kümenin eleman sayısı $5 - 1 = 4$'tür.
• Kombinasyon Kullanımı: Şimdi, 4 elemanlı $A'$ kümesinden 2 eleman seçmemiz gerekiyor. Seçim yaparken elemanların sırası önemli olmadığı için kombinasyon formülünü kullanacağız. Kombinasyon formülü $C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ şeklindedir.
• Hesaplamayı Yapalım: Burada $n = 4$ (seçim yapacağımız eleman sayısı) ve $k = 2$ (seçeceğimiz eleman sayısı).
  • $C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!}$
  • $C(4, 2) = \frac{4!}{2!2!}$
  • $C(4, 2) = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(2 \times 1)}$
  • $C(4, 2) = \frac{24}{2 \times 2}$
  • $C(4, 2) = \frac{24}{4}$
  • $C(4, 2) = 6$
• Sonuç: Buna göre, $A$ kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinden 6 tanesinde 'a' elemanı bulunur. Bu alt kümeler şunlardır: $\{a, b, c\}$, $\{a, b, d\}$, $\{a, b, e\}$, $\{a, c, d\}$, $\{a, c, e\}$, $\{a, d, e\}$.

Cevap B seçeneğidir.