Bu soruda, bir veri grubundaki iki farklı özelliğe sahip olma yüzdeleri verilmiş ve her iki özelliğe birden sahip olanların en az yüzde kaç olabileceği soruluyor. Bu tür soruları küme problemleri veya olasılık problemleri gibi düşünebiliriz. Gelin adım adım çözelim:
- Verilen Bilgileri Anlayalım: A özelliğine sahip olanlar %60, B özelliğine sahip olanlar %50'dir. Bizden her iki özelliğe birden sahip olanların minimum yüzdesi isteniyor.
- Matematiksel Gösterim: A özelliğine sahip olma olasılığını $P(A)$ ve B özelliğine sahip olma olasılığını $P(B)$ ile gösterelim. Yüzdeleri ondalık sayı olarak ifade edersek: $P(A) = 0.60$ ve $P(B) = 0.50$. Her iki özelliğe birden sahip olanları $P(A \cap B)$ ile gösteririz. Bizden $P(A \cap B)$'nin en küçük değeri isteniyor.
- Temel Küme Formülünü Hatırlayalım: İki kümenin birleşiminin (en az bir özelliğe sahip olanlar) olasılık formülü şöyledir: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. Burada $P(A \cup B)$, A veya B özelliğine sahip olanların (yani en az birine sahip olanların) yüzdesini ifade eder.
- Formülü İstediğimiz Şekle Getirelim: Biz $P(A \cap B)$'yi aradığımız için formülü yeniden düzenleyelim: $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$.
- Minimum Değeri Bulmak İçin Strateji: $P(A \cap B)$'nin en küçük değerini bulmak için, formüldeki $P(A \cup B)$ değerinin en büyük olması gerekir. Çünkü $P(A \cup B)$ ne kadar büyük olursa, $P(A) + P(B)$ toplamından o kadar büyük bir sayı çıkarırız ve sonuç olarak $P(A \cap B)$ o kadar küçük olur.
- $P(A \cup B)$'nin Maksimum Değeri: Bir gruptaki kişilerin en fazla %100'ü herhangi bir özelliğe sahip olabilir. Yani, $P(A \cup B)$'nin alabileceği en büyük değer 1'dir (veya %100'dür). Bu durum, gruptaki herkesin en az bir özelliğe (A veya B) sahip olduğu anlamına gelir. O halde, $P(A \cup B)_{maksimum} = 1.00$ (veya %100).
- Değerleri Formülde Yerine Koyalım: Şimdi bulduğumuz değerleri formülümüze yerleştirelim: $P(A \cap B)_{minimum} = P(A) + P(B) - P(A \cup B)_{maksimum}$. Bu da $P(A \cap B)_{minimum} = 0.60 + 0.50 - 1.00$ demektir. İşlemi yaparsak: $P(A \cap B)_{minimum} = 1.10 - 1.00 = 0.10$.
- Sonucu Yüzde Olarak İfade Edelim: 0.10 değeri %10'a karşılık gelir. Bu durumda, her iki özelliğe birden sahip olanların en az %10 olması gerekir.
Bu mantığı şöyle de düşünebiliriz: A özelliğine sahip olanlar %60, B özelliğine sahip olanlar %50. Toplamda %110'luk bir oran var ($60+50$). Ancak bir grubun toplamı %100'den fazla olamaz. Bu %100'ü aşan kısım ($110 - 100 = 10$) her iki özelliğe de sahip olan kişileri temsil eder. Çünkü bu kişiler hem A'ya hem B'ye sahip oldukları için iki kez sayılmışlardır.
Cevap A seçeneğidir.
