Logaritma AYT çıkmış sorular Test 1

log₂3 = a olduğuna göre, log₄9 ifadesinin a cinsinden değeri nedir?

A) a
B) 2a
C) a/2
D) a²
E) 1/a

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek logaritma konusundaki bilgilerinizi pekiştirelim. Amacımız, verilen bir logaritma ifadesini kullanarak başka bir logaritma ifadesinin değerini bulmak.

• Verilen Bilgiyi Anlayalım:

  Bize $\log_2 3 = a$ olduğu bilgisi verilmiş. Bu, 2 tabanında 3'ün logaritmasının $a$ değerine eşit olduğu anlamına gelir.

• Aranan İfadeyi Belirleyelim:

  Bizden $\log_4 9$ ifadesinin $a$ cinsinden değerini bulmamız isteniyor.

• Logaritma Özelliklerini Hatırlayalım:

  Bu tür soruları çözmek için en sık kullandığımız özelliklerden biri taban değiştirme kuralı ve üslü sayıların logaritmadaki kullanımıdır. Özellikle şu kural çok işimize yarayacaktır:

  • $\log_{b^k} x^m = \frac{m}{k} \log_b x$

  Bu kural, hem tabanın hem de logaritması alınan sayının üslü biçimde yazılabildiği durumlarda çok kullanışlıdır.

• Aranan İfadeyi Üslü Biçimde Yazalım:

  Şimdi $\log_4 9$ ifadesindeki tabanı ve sayıyı, bildiğimiz taban olan 2 ve logaritması alınan sayı olan 3'ün kuvvetleri şeklinde yazmaya çalışalım:

  • Taban $4$, $2^2$ olarak yazılabilir. Yani $4 = 2^2$.
  • Logaritması alınan sayı $9$, $3^2$ olarak yazılabilir. Yani $9 = 3^2$.
• İfadeyi Yeniden Yazalım ve Özelliği Uygulayalım:

  Bu değerleri $\log_4 9$ ifadesinde yerine koyarsak:

  • $\log_4 9 = \log_{2^2} 3^2$

  Şimdi yukarıda hatırladığımız $\log_{b^k} x^m = \frac{m}{k} \log_b x$ kuralını uygulayalım. Burada $b=2$, $k=2$, $x=3$ ve $m=2$ değerlerine sahibiz.

  • $\log_{2^2} 3^2 = \frac{2}{2} \log_2 3$
• İfadeyi Sadeleştirelim:

  Gördüğünüz gibi $\frac{2}{2}$ ifadesi 1'e eşittir. Bu durumda ifademiz:

  • $1 \cdot \log_2 3 = \log_2 3$
• Sonucu $a$ Cinsinden Bulalım:

  Sorunun başında bize $\log_2 3 = a$ olduğu verilmişti. Bulduğumuz sonuç da tam olarak $\log_2 3$ olduğu için, $\log_4 9$ ifadesinin $a$ cinsinden değeri $a$'ya eşittir.

  • $\log_4 9 = a$

Cevap A seçeneğidir.