Logaritma AYT çıkmış sorular Test 1

log(2x - 1) + log(3x + 2) = log(6x² + x - 2) denkleminin çözüm kümesi nedir?

A) {-1}
B) {1}
C) {-2}
D) {2}
E) {-1, 2}

Merhaba sevgili öğrenciler,

Bu soruda logaritma denklemlerini çözme becerimizi kullanacağız. Logaritma denklemlerini çözerken en önemli adımlardan biri, logaritmanın tanımlı olduğu aralığı (tanım kümesini) belirlemektir. Unutmayın, bir logaritmanın içi (argümanı) her zaman pozitif olmalıdır.

• Adım 1: Logaritmaların Tanım Kümesini Belirleyelim.

  Bir $\log(A)$ ifadesinin tanımlı olabilmesi için $A > 0$ olmalıdır. Denklemimizdeki her bir logaritma ifadesi için bu koşulu inceleyelim:

  İlk terim için: $2x - 1 > 0 \Rightarrow 2x > 1 \Rightarrow x > \frac{1}{2}$

  İkinci terim için: $3x + 2 > 0 \Rightarrow 3x > -2 \Rightarrow x > -\frac{2}{3}$

  Sağ taraftaki terim için: $6x^2 + x - 2 > 0$

  Şimdi $6x^2 + x - 2 = 0$ denkleminin köklerini bulalım. Diskriminant $\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(6)(-2) = 1 + 48 = 49$.

  Kökler: $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2(6)} = \frac{-1 \pm 7}{12}$

  $x_1 = \frac{-1 + 7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

  $x_2 = \frac{-1 - 7}{12} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}$

  $6x^2 + x - 2$ parabolü yukarı doğru açıldığı için ($x^2$ teriminin katsayısı pozitif), $6x^2 + x - 2 > 0$ eşitsizliği $x < -\frac{2}{3}$ veya $x > \frac{1}{2}$ olduğunda sağlanır.

  Tüm bu koşulları birleştirdiğimizde (yani $x > \frac{1}{2}$, $x > -\frac{2}{3}$ ve ($x < -\frac{2}{3}$ veya $x > \frac{1}{2}$)), denklemin tanım kümesi $x > \frac{1}{2}$ olarak bulunur.

• Adım 2: Logaritma Özelliklerini Kullanarak Denklemi Sadeleştirelim.

  Logaritmanın temel özelliklerinden biri $\log A + \log B = \log (A \cdot B)$ şeklindedir. Bu özelliği denklemin sol tarafına uygulayalım:

  $\log(2x - 1) + \log(3x + 2) = \log((2x - 1)(3x + 2))$

  Şimdi $(2x - 1)(3x + 2)$ ifadesini açalım:

  $(2x - 1)(3x + 2) = 2x \cdot 3x + 2x \cdot 2 - 1 \cdot 3x - 1 \cdot 2 = 6x^2 + 4x - 3x - 2 = 6x^2 + x - 2$

  Denklemimiz şu hale gelir:

  $\log(6x^2 + x - 2) = \log(6x^2 + x - 2)$

• Adım 3: Denklemi Çözelim ve Tanım Kümesiyle Karşılaştıralım.

  Elde ettiğimiz denklem $\log(A) = \log(A)$ şeklindedir. Bu, bir özdeşliktir. Yani, logaritma ifadelerinin tanımlı olduğu her $x$ değeri için bu eşitlik sağlanır.

  Dolayısıyla, denklemin çözüm kümesi, Adım 1'de bulduğumuz tanım kümesidir: $x > \frac{1}{2}$.

  Şimdi seçenekleri bu tanım kümesiyle karşılaştıralım:

  A) $\{-1\}$: $-1 \ngtr \frac{1}{2}$ olduğu için çözüm kümesinde değildir.

  B) $\{1\}$: $1 > \frac{1}{2}$ olduğu için çözüm kümesindedir.

  C) $\{-2\}$: $-2 \ngtr \frac{1}{2}$ olduğu için çözüm kümesinde değildir.

  D) $\{2\}$: $2 > \frac{1}{2}$ olduğu için çözüm kümesindedir.

  E) $\{-1, 2\}$: $-1$ çözüm kümesinde olmadığı için bu seçenek doğru değildir.

  Verilen seçenekler arasında, $x=1$ değeri denklemin tanım kümesinde yer almakta ve denklemi sağlamaktadır. Bu nedenle, seçenekler arasında doğru olanı B seçeneğidir.

Cevap B seçeneğidir.