Hangi fonksiyon tek fonksiyon özelliğini sağlar?
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, tek fonksiyon özelliğini sağlayan fonksiyonu bulmamız isteniyor. Bir fonksiyonun tek fonksiyon olup olmadığını anlamak için belirli bir kuralı uygulamamız gerekir. Hadi bu kuralı hatırlayalım ve seçenekleri tek tek inceleyelim.
Tek Fonksiyon Nedir?
Şimdi seçenekleri bu kurala göre inceleyelim:
Bu fonksiyonda $x$ yerine $-x$ yazalım: $f(-x) = (-x)^4$.
Üssü çift olduğu için, $(-x)^4 = x^4$ olur.
Yani, $f(-x) = x^4$.
Başlangıçtaki fonksiyonumuz $f(x) = x^4$ idi. Gördüğümüz gibi $f(-x) = f(x)$ eşitliği sağlandı. Bu, $f(x) = x^4$ fonksiyonunun bir çift fonksiyon olduğu anlamına gelir, tek fonksiyon değildir.
Bu fonksiyonda $x$ yerine $-x$ yazalım: $f(-x) = \sin(-x)$.
Trigonometrik bir özdeşlik olarak, $\sin(-x) = -\sin(x)$ olduğunu biliyoruz.
Yani, $f(-x) = -\sin(x)$.
Başlangıçtaki fonksiyonumuz $f(x) = \sin(x)$ idi. Gördüğümüz gibi $f(-x) = -f(x)$ eşitliği sağlandı. Bu, $f(x) = \sin(x)$ fonksiyonunun bir tek fonksiyon olduğu anlamına gelir.
Bu fonksiyonda $x$ yerine $-x$ yazalım: $f(-x) = \cos(-x)$.
Trigonometrik bir özdeşlik olarak, $\cos(-x) = \cos(x)$ olduğunu biliyoruz.
Yani, $f(-x) = \cos(x)$.
Başlangıçtaki fonksiyonumuz $f(x) = \cos(x)$ idi. Gördüğümüz gibi $f(-x) = f(x)$ eşitliği sağlandı. Bu, $f(x) = \cos(x)$ fonksiyonunun bir çift fonksiyon olduğu anlamına gelir, tek fonksiyon değildir.
Bu fonksiyonda $x$ yerine $-x$ yazalım: $f(-x) = (-x)^2 + 2(-x)$.
İşlemleri yaparsak: $f(-x) = x^2 - 2x$.
Şimdi bu ifadeyi $f(x)$ ve $-f(x)$ ile karşılaştıralım:
$f(x) = x^2 + 2x$
$-f(x) = -(x^2 + 2x) = -x^2 - 2x$
Gördüğümüz gibi, $f(-x) = x^2 - 2x$ ne $f(x)$'e ($x^2 + 2x$) ne de $-f(x)$'e ($-x^2 - 2x$) eşittir. Bu nedenle, $f(x) = x^2 + 2x$ fonksiyonu ne tek ne de çift fonksiyondur.
Yaptığımız incelemeler sonucunda, sadece $f(x) = \sin(x)$ fonksiyonunun tek fonksiyon kuralı olan $f(-x) = -f(x)$ eşitliğini sağladığını gördük.
Cevap B seçeneğidir.