f(x) = sec(x) fonksiyonunun türevi nedir?
Bugün $f(x) = \sec(x)$ fonksiyonunun türevini adım adım, açıklayıcı bir şekilde bulacağız. Bu tür türevleri anlamak, ileri seviye matematik konularında size büyük kolaylık sağlayacaktır.
İşte çözüm adımları:
Öncelikle, $\sec(x)$ fonksiyonunun trigonometrik tanımını hatırlayalım. Sekant fonksiyonu, kosinüs fonksiyonunun çarpmaya göre tersidir:
$f(x) = \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}$
Elimizde bir kesir (oran) olduğu için, türev almak için Bölüm Kuralı'nı kullanacağız. Bölüm Kuralı bize şunu söyler: Eğer $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ ise, o zaman türevi $f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$ şeklindedir.
Bizim durumumuzda, pay $u(x) = 1$ ve payda $v(x) = \cos(x)$'tir.
Şimdi $u(x)$ ve $v(x)$'in türevlerini alalım:
Sabit bir sayının türevi sıfır olduğu için $u'(x) = \frac{d}{dx}(1) = 0$'dır.
Kosinüs fonksiyonunun türevi eksi sinüs olduğu için $v'(x) = \frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)$'tir.
Bulduğumuz türevleri Bölüm Kuralı formülüne yerleştirelim:
$f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$
$f'(x) = \frac{(0) \cdot (\cos(x)) - (1) \cdot (-\sin(x))}{[\cos(x)]^2}$
Şimdi ifadeyi basitleştirelim:
$f'(x) = \frac{0 - (-\sin(x))}{\cos^2(x)}$
$f'(x) = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)}$
Son olarak, bu ifadeyi daha tanıdık trigonometrik fonksiyonlar cinsinden yazalım. $\cos^2(x)$ ifadesini $\cos(x) \cdot \cos(x)$ olarak düşünebiliriz:
$f'(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x) \cdot \cos(x)}$
Bu ifadeyi iki ayrı kesir olarak yazabiliriz:
$f'(x) = \frac{1}{\cos(x)} \cdot \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$
Burada, $\frac{1}{\cos(x)}$ ifadesinin $\sec(x)$'e ve $\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ ifadesinin $\tan(x)$'e eşit olduğunu biliyoruz.
Öyleyse, $f'(x) = \sec(x)\tan(x)$ olur.
Bu sonuç, $\sec(x)$ fonksiyonunun türevinin $\sec(x)\tan(x)$ olduğunu gösterir.
Cevap A seçeneğidir.
