x² + y² = 25 çemberi ile y = 2x + 5 doğrusu arasındaki en kısa uzaklık kaç birimdir?
Bu problemde, bir çember ile bir doğru arasındaki en kısa uzaklığı bulmamız isteniyor. Bu tür problemleri çözerken, öncelikle çemberin merkezinin doğruya olan uzaklığını bulmak ve bu uzaklığı çemberin yarıçapı ile karşılaştırmak önemlidir.
Verilen çember denklemi $x^2 + y^2 = 25$ şeklindedir. Genel çember denklemi $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ olduğundan, bu çemberin merkezi $(a,b) = (0,0)$ noktasıdır ve yarıçapı $r = \sqrt{25} = 5$ birimdir.
Verilen doğru denklemi $y = 2x + 5$ şeklindedir. Bir noktanın bir doğruya olan uzaklığını hesaplamak için doğru denklemini $Ax + By + C = 0$ genel formunda yazmamız gerekir. Bu durumda, $2x - y + 5 = 0$ olarak yazabiliriz. Burada $A=2$, $B=-1$ ve $C=5$'tir.
Bir $(x_0, y_0)$ noktasının $Ax + By + C = 0$ doğrusuna olan uzaklığı $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ formülü ile bulunur.
Bizim durumumuzda, çemberin merkezi $(x_0, y_0) = (0,0)$ ve doğru denklemi $2x - y + 5 = 0$ olduğundan:
$d = \frac{|2(0) - 1(0) + 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}}$
$d = \frac{|0 - 0 + 5|}{\sqrt{4 + 1}}$
$d = \frac{5}{\sqrt{5}}$
$d = \frac{5\sqrt{5}}{5}$
$d = \sqrt{5}$ birimdir.
Çemberin merkezinin doğruya olan uzaklığı $d = \sqrt{5}$ birimdir. Çemberin yarıçapı ise $r = 5$ birimdir.
Burada $d = \sqrt{5} \approx 2.236$ ve $r = 5$ olduğundan, $d < r$ durumu söz konusudur. Yani, çemberin merkezinin doğruya olan uzaklığı, çemberin yarıçapından daha küçüktür.
Eğer çemberin merkezinin doğruya olan uzaklığı ($d$) yarıçaptan ($r$) küçükse ($d < r$), bu durum doğru ile çemberin kesiştiği anlamına gelir. Bir doğru bir çemberi kestiğinde, doğru üzerindeki noktalar ile çember üzerindeki noktalar arasındaki en kısa uzaklık 0 birimdir. Çünkü doğru çemberin içinden geçmektedir ve çemberin üzerinde doğruya ait noktalar bulunmaktadır.
Cevap A seçeneğidir.
