Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir çemberin bir doğruya göre simetriğini bulacağız. Adım adım ilerleyerek konuyu daha iyi anlayalım:
- Öncelikle, bize verilen orijinal çemberin özelliklerini belirleyelim. Çemberin merkezi $(0, 0)$ ve yarıçapı $r = 4$ birim olarak verilmiştir. Bu çemberin denklemi genel formül $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ kullanılarak $x^2 + y^2 = 4^2$, yani $x^2 + y^2 = 16$ şeklinde yazılır.
- Şimdi, bu çemberin $x = 2$ doğrusuna göre simetriğini bulmamız gerekiyor. Bir şeklin simetriğini alırken, şeklin boyutu ve biçimi değişmez, sadece konumu değişir. Bu nedenle, simetriği alınan çemberin yarıçapı da orijinal çemberin yarıçapı ile aynı olacaktır, yani $r' = 4$ birimdir.
- Simetriği alınan çemberin merkezini bulmalıyız. Orijinal çemberin merkezi $M_1 = (0, 0)$ noktasıdır. Simetri eksenimiz ise $x = 2$ doğrusudur. Bir noktanın $x = k$ doğrusuna göre simetriği alınırken, noktanın y-koordinatı değişmezken, x-koordinatı simetri eksenine olan uzaklığı kadar diğer tarafa geçer.
- $M_1 = (0, 0)$ noktasının $x = 2$ doğrusuna göre simetriği olan $M_2 = (x', y')$ noktasını bulalım.
- y-koordinatı değişmez: $y' = 0$.
- x-koordinatı için, orijinal noktanın x-koordinatı ile yeni noktanın x-koordinatının ortalaması simetri ekseninin x-değerine eşit olmalıdır: $\frac{0 + x'}{2} = 2$.
- Bu denklemi çözdüğümüzde $x' = 4$ buluruz.
- Böylece, simetriği alınan çemberin yeni merkezi $M_2 = (4, 0)$ noktasıdır.
- Son olarak, yeni çemberin denklemini yazalım. Merkezi $(h, k) = (4, 0)$ ve yarıçapı $r' = 4$ olan çemberin denklemi $(x - 4)^2 + (y - 0)^2 = 4^2$ şeklinde olacaktır.
- Bu denklemi düzenlediğimizde $(x - 4)^2 + y^2 = 16$ sonucunu elde ederiz.
- Şimdi bu denklemi seçeneklerle karşılaştıralım:
- A) $(x-4)^2 + y^2 = 16$
- B) $(x+4)^2 + y^2 = 16$
- C) $(x-2)^2 + y^2 = 16$
- D) $(x+2)^2 + y^2 = 16$
Bulduğumuz denklem A seçeneği ile aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
