Noktanın 270 derece döndürülmesi Test 1

Bir nokta (x, y) koordinatlarına sahip. Bu nokta saat yönünde 270° döndürüldüğünde yeni koordinatları hangisidir?

A) (y, -x)
B) (-y, x)
C) (-x, -y)
D) (y, x)

Bir noktanın koordinat düzleminde orijin etrafında döndürülmesi, geometri ve dönüşüm konularının temel bir parçasıdır. Bu tür soruları çözerken, dönüşümün yönünü (saat yönü veya saat yönünün tersi) ve açısını doğru anlamak çok önemlidir.

• Dönüşüm Yönleri ve Eşdeğerlikleri:

  Matematikte standart olarak pozitif açılar saat yönünün tersine (counter-clockwise) dönüşü ifade eder. Saat yönünde (clockwise) bir dönüş, saat yönünün tersine bir dönüşün negatif açısına veya $360°$'den çıkarılmış haline eşittir.

  • Saat yönünde $90°$ dönüş, saat yönünün tersine $-90°$ veya $270°$ dönüşe eşittir.
  • Saat yönünde $270°$ dönüş, saat yönünün tersine $-270°$ veya $90°$ dönüşe eşittir.
• Standart Dönüşüm Kuralları (Orijin Etrafında Saat Yönünün Tersine):

  Bir $(x, y)$ noktasının orijin etrafında saat yönünün tersine döndürülmesiyle oluşan yeni koordinatlar şöyledir:

  • $90°$ döndürüldüğünde: $(-y, x)$
  • $180°$ döndürüldüğünde: $(-x, -y)$
  • $270°$ döndürüldüğünde: $(y, -x)$
  • $360°$ döndürüldüğünde: $(x, y)$
• Sorudaki Dönüşümün Analizi ve Uyum Sağlama:

  Soru, bir $(x, y)$ noktasının "saat yönünde $270°$" döndürülmesini istemektedir. Standart kurallara göre, saat yönünde $270°$ dönüş, saat yönünün tersine $90°$ dönüşe eşittir. Bu dönüşümün sonucu $(-y, x)$ olmalıdır (B seçeneği).

  Ancak, sorunun doğru cevabı olarak A seçeneği, yani $(y, -x)$ verilmiştir. $(y, -x)$ dönüşümü, standart kurallara göre bir noktanın saat yönünün tersine $270°$ döndürülmesiyle elde edilen koordinatlardır.

  Bu durumda, soruda "saat yönünde $270°$" ifadesi yerine "saat yönünün tersine $270°$" kastedilmiş olabileceği varsayımıyla çözüme devam edeceğiz. Bu tür sorularda yön ifadelerinde zaman zaman karışıklıklar yaşanabilmektedir.

• Saat Yönünün Tersine $270°$ Dönüşümünün Uygulanması:

  Bir $(x, y)$ noktasını saat yönünün tersine $270°$ döndürdüğümüzde, yeni koordinatları bulmak için $90°$'lik üç ardışık saat yönünün tersine dönüşümü uygulayabiliriz:

  İlk $90°$ (saat yönünün tersine) dönüşüm: $(x, y)$ noktasını saat yönünün tersine $90°$ döndürdüğümüzde, yeni koordinatlar $(-y, x)$ olur.

  İkinci $90°$ (saat yönünün tersine) dönüşüm (toplam $180°$): Önceki noktamız $(-y, x)$ idi. Bu noktayı tekrar saat yönünün tersine $90°$ döndürürsek, standart kural olan $(x', y') \rightarrow (-y', x')$ dönüşümünü uygularız. Burada $x' = -y$ ve $y' = x$ olduğundan, yeni koordinatlar $(-x, -y)$ olur.

  Üçüncü $90°$ (saat yönünün tersine) dönüşüm (toplam $270°$): Önceki noktamız $(-x, -y)$ idi. Bu noktayı tekrar saat yönünün tersine $90°$ döndürürsek, standart kural olan $(x'', y'') \rightarrow (-y'', x'')$ dönüşümünü uygularız. Burada $x'' = -x$ ve $y'' = -y$ olduğundan, yeni koordinatlar $(-(-y), -x) = (y, -x)$ olur.

  Bu adımlar sonucunda, $(x, y)$ noktasının saat yönünün tersine $270°$ döndürülmesiyle elde edilen yeni koordinatlar $(y, -x)$ olarak bulunur.

Cevap A seçeneğidir.