Merhaba sevgili öğrenciler! Vektörler arasındaki açıyı bulmak, hem matematikte hem de fizikte sıkça karşımıza çıkan önemli bir konudur. Bu soruda, iki vektör arasındaki açıyı adım adım nasıl bulacağımızı öğreneceğiz. Haydi başlayalım!
- Adım 1: Vektörleri Tanımlayalım
- Bize verilen vektörler şunlardır:
- $\vec{A} = (1,0)$
- $\vec{B} = (0,1)$
- Bu vektörler, aslında birim vektörlerdir ve koordinat sisteminde x ekseni üzerindeki birim vektör ile y ekseni üzerindeki birim vektörü temsil ederler.
- Adım 2: Vektörler Arasındaki Açıyı Bulma Formülünü Hatırlayalım
- İki vektör $\vec{A}$ ve $\vec{B}$ arasındaki $\theta$ açısını bulmak için nokta (skaler) çarpım formülünü kullanırız:
$\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos\theta$
- Buradan $\cos\theta$ değerini çekebiliriz:
$\cos\theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|}$
- Adım 3: Vektörlerin Nokta Çarpımını (Skaler Çarpımını) Hesaplayalım
- $\vec{A} = (x_1, y_1)$ ve $\vec{B} = (x_2, y_2)$ vektörleri için nokta çarpım formülü $x_1 x_2 + y_1 y_2$'dir.
- Verilen vektörler için:
$\vec{A} \cdot \vec{B} = (1)(0) + (0)(1) = 0 + 0 = 0$
- Adım 4: Vektörlerin Büyüklüklerini (Magnitüdlerini) Hesaplayalım
- Bir $\vec{V} = (x,y)$ vektörünün büyüklüğü $|\vec{V}| = \sqrt{x^2 + y^2}$ formülüyle bulunur.
- $\vec{A}$ vektörünün büyüklüğü:
$|\vec{A}| = \sqrt{1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 0} = \sqrt{1} = 1$
- $\vec{B}$ vektörünün büyüklüğü:
$|\vec{B}| = \sqrt{0^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 1} = \sqrt{1} = 1$
- Adım 5: Bulduğumuz Değerleri Formülde Yerine Koyalım
- Şimdi $\cos\theta$ formülünde hesapladığımız değerleri yerine yazalım:
$\cos\theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|} = \frac{0}{(1)(1)} = \frac{0}{1} = 0$
- Adım 6: Açıyı Bulalım
- $\cos\theta = 0$ eşitliğini sağlayan $\theta$ açısı $90^\circ$'dir. Yani, kosinüsü $0$ olan açı $90$ derecedir.
- Bu durum, iki vektörün birbirine dik (ortogonal) olduğunu gösterir.
Bu adımları takip ettiğimizde, A(1,0) ve B(0,1) vektörleri arasındaki açının $90^\circ$ olduğunu buluruz.
Cevap C seçeneğidir.
