Bu soruda, iki vektörün skaler çarpımının pozitif olması durumunda aralarındaki açının hangi aralıkta olduğunu bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
- Skaler Çarpımın Tanımı: İki $\vec{A}$ ve $\vec{B}$ vektörünün skaler çarpımı (nokta çarpımı), vektörlerin büyüklükleri ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımına eşittir. Matematiksel olarak şu şekilde ifade edilir:
- $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos\theta$
- Burada $|\vec{A}|$ ve $|\vec{B}|$, $\vec{A}$ ve $\vec{B}$ vektörlerinin büyüklükleridir. Vektörlerin büyüklükleri her zaman pozitif veya sıfırdır. Soruda genellikle sıfır olmayan vektörler kastedildiği için bu büyüklükleri pozitif kabul edebiliriz. $\theta$, $\vec{A}$ ve $\vec{B}$ vektörleri arasındaki açıdır. $\cos\theta$, bu açının kosinüs değeridir.
- Sorudaki Koşul: Bize skaler çarpımın pozitif olduğu söyleniyor. Yani:
- $\vec{A} \cdot \vec{B} > 0$
- Bu ifadeyi skaler çarpım formülüne uygularsak:
- $|\vec{A}| |\vec{B}| \cos\theta > 0$
- İfadelerin İşaret Analizi: $|\vec{A}|$ ve $|\vec{B}|$ vektör büyüklükleri olduğu için (sıfır olmayan vektörler için) her zaman pozitiftirler. Yani $|\vec{A}| > 0$ ve $|\vec{B}| > 0$. İki pozitif sayının çarpımı da pozitiftir. Bu durumda, eşitsizliğin sağlanabilmesi için $\cos\theta$ değerinin de pozitif olması gerekir. Yani, $\cos\theta > 0$ olmalıdır.
- Kosinüs Fonksiyonunun Davranışı: Şimdi $\cos\theta$ değerinin hangi açı aralıklarında pozitif olduğunu hatırlayalım:
- Kosinüs fonksiyonu, $0^\circ$ ile $90^\circ$ arasındaki açılar için pozitiftir (Birinci Bölge).
- Kosinüs fonksiyonu, $90^\circ$ ile $180^\circ$ arasındaki açılar için negatiftir (İkinci Bölge).
- $\theta = 90^\circ$ olduğunda $\cos 90^\circ = 0$'dır.
- $\theta = 180^\circ$ olduğunda $\cos 180^\circ = -1$'dir.
- Sonuç: Skaler çarpımın pozitif olması için $\cos\theta > 0$ olması gerektiğinden, $\theta$ açısı $0^\circ$ ile $90^\circ$ arasında olmalıdır. Yani $0^\circ < \theta < 90^\circ$. Bu durum, vektörlerin birbirine "yakın" yönde olduğunu ve aralarındaki açının dar açı olduğunu gösterir.
Cevap A seçeneğidir.
